18. Тестирование моделей на присутствие автокорреляции.

Для проверки наличия (либо отсутствия) автокорреляции широкое применение получил тест Дарбина-Уотсона.

Предпосылки теста:

• Случайные возмущения распределены по нормальному закону

• Имеет место авторегрессия первого порядка:

Статистика для проверки гипотезы:

Свойства статистики DW:

где: r - коэффициент корреляции между случайными возмущениями

Из этого выражения следует:

DW изменятся в пределах (0 – 4)

При этом если r = 1, DW=0 - положительная корреляция

если r = 0, DW=2 - отсутствие корреляции

если r=-1, DW=4 - отрицательная корреляция

Особенности статистики DW:

Для статистики DW не возможно найти критическое значение, т.к. оно зависит не только от Р_дов и степеней свободы k и n, но и от абсолютных значений регрессоров

Возможно определить границы интервала D_L и D_u внутри которого критическое значение DW_кр находится:

D_L ≤ DW_кр ≤ D_u

Значения D_u и D_L находятся по таблицам

19.Методы устранения автокорреляции в уравнениях множественной регрессии.

Модель называется автокоррелированной, если не выполняется третья предпосылка теоремы Гаусса-Маркова: Cov(u_i,u_j)≠0 при i≠j

Автокорреляция чаще всего появляется в моделях временных рядов и моделировании циклических процессов.

Методы устранения автокорреляции.

Рассматривается случай авторегрессии первого порядка:

Тогда:

Cov(ε_t,U_t-1)=0 , т.к. переменные независимые

Следовательно: (1)

Т.к. U₀ отсутствует, полагаем, что σ²(U₁) =σ²(U₀)

Тогда из (1) следует: (2)

Множитель (1-ρ²) обеспечивает стационарность σ²(U_t), т.е. постоянство σ²(U_t)

Выражение (2) – начальное условие для σ²(U₀)

Из выражения (1) с учетом (2) вытекает:

Для произвольного наблюдения t в силу рекурентности (1) имеем:

(3)

Вывод: введение корректирующего множителя (1-ρ²) обеспечивает постоянство σ²(U) во всех наблюдениях и, следовательно, отсутствие автокорреляции между случайными возмущениями

Рассмотрим два последовательных уравнения наблюдения

(4)

(5)

Умножим уравнение (5) на ρ и вычтем из (4)

Учитывая, что u_t-ρu_t-1=ε_t и делая замену переменных:

получим систему уравнений, в которых дисперсия случайных возмущений постоянна

Параметры уравнения (11.6) можно оценить с помощью МНКЕсли значение ρ известно, то решение окончено

20.Гетероскедастичность в уравнениях множественной регрессии, ее признаки, последствия и методы устранения.

Наличие случайного возмущения приводит к размытости значений Y независимо от X. Для случайного возмущения предполагается выполнение ряда требований: условий теоремы Гаусса-Маркова (E(u₁)=E(u₂)=…=E(u_n)=0; Var(u₁)=Var(u₂)=…=Var(u_n)=σ²; Cov(u_i ,u_j)=0; Cov (x_mi , u_j)=0)

Распределение u для каждого наблюдения имеет нормальное распределение и нулевое ожидание, но дисперсия распределений различна.

Условия обеспечивающие гомоскедастичность (равенство дисперсий случайных остатков в уравнениях наблюдений) случайных возмущений:

1. Средние значения случайных возмущений в каждом наблюдении равно нулю;

2. Распределения одинаковы для всех наблюдений.

Последствия нарушения условия гомоскедастичности случайных возмущений:

1. Потеря эффективности оценок коэффициентов регрессии, т.е. можно найти другие, отличные от МНК и более эффективные оценки

2. Смещенность стандартных ошибок коэффициентов в связи с некорректностью процедур их оценки.

Методы исправления( устранения гетероскедастичности):

1. Делится каждое уравнение наблюдений на свое σ(u_t) и получается:

Тогда дисперсия случайного возмущения в каждом уравнении наблюдений

Недостатком способа является невозможность оценить σ(u_t).

2. Взвешенный метод наименьших квадратов

Если в схеме Гаусса-Маркова не выполняется предпосылка о гомоскедастичности случайных возмущений, то наилучшей линейной процедурой оценки параметров модели является:

где: Р матрица ковариаций случайных возмущений в уравнения наблюдений:

Т.е. матрица является диагональной, но не скалярной, т.е. Cov(u,u)≠ σ²_u