- •1. Определение линейного пространства.
- •2. Дайте определение подпространства линейного пространства.
- •3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, свойства линейной зависимости.
- •4. Определение ранга системы векторов и базиса линейного пространства.
- •5. Определение ортогональной системы векторов.
- •6. Дайте определение скалярного произведения в Rn.
- •7. Понятие определенной и неопределенной систем уравнений.
- •8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.
- •9. Дайте определение ранга матрицы.
- •10. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц.
- •11. Определение ортогональной матрицы.
- •Свойства
- •12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.
- •13. Определение обратной матрицы и ее свойства.
- •Cвойства обратных матриц
- •16. Запишите формулу Муавра.
- •18. Сформулируйте определение линейного преобразования.
- •19.Приведите определение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.
- •20. Дайте определение числа и вектора Фробениуса.
- •21. Сформулируйте определение канонического и нормального вида квадратичной формы. Как привести квадратичную форму к нормальному виду.
- •22.Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Проиллюстрируйте закон инерции на примере.
- •23. Критерий Сильвестра.
- •25. Определение отрезка, теорема об отрезке.
- •27. Определение и свойства выпуклого множества.
- •29. Понятие канонической и стандартной задач линейного программирования.
16. Запишите формулу Муавра.
zn=|z|n(cosnφ+sinnφ);
=(cos(φ+2πk/n)+isin(φ+2πk/n)) k=0,1,…,n-1.
Корень n-ой степени из комплексного числа принимает n-1 значений.
Формула Муавра применяется для вычисления N-ой степени комплексного числа. Z ⁿ = |Z|ⁿ ( cos nα + i sin nα ). Корнем N-ой степени из комплексного числа Z называется такое число U, что Uⁿ = Z.
Где K = 0, 1, … , N – 1.
Корень N-ой степени из комплексного числа принимает N значений. Комплексные числа, являющиеся корнями степени N из комплексного числа Z , соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного N-угольника, вписанного в окружность радиусом корень N-ой степени из модуля с центром в точке Z=0.
17. Сформулируйте основную теорему алгебры. Решите уравнение х3-64=0
Основная теорема алгебры – теорема о комплексных числах. Комплексное число Z = a + ib, где a и b – действительные числа; слагаемые a и b называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа; символ i, определяемый условием i² = -1, называется мнимой единицей. Комплексные числа вводятся в связи с необходимостью решать уравнения вида X² + 1 = 0.
Теорема: всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которых не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный (т. е. другими словами всегда имеет n корней). У данного уравнения на множестве комплексных чисел существует 3 корня. Чтобы их найти, представлю 64 в тригонометрической форме:
64=64(cos0+isin0).
Тогда xk=3√64(cos(0+2πk/3)+isin(0+2πk/3))=
=4(cos2πk/3+isin2πk/3); k=0,1,2. т. е.
x0=4(cos0+isin0)=4
x1=4(cos2π/3+isin2π/3)=-2+2i√3
x2=4(cos4π/3+isin4π/3)=-2-2i√3
18. Сформулируйте определение линейного преобразования.
Отображение линейного пространства V в себя называется линейным преобразованием, если для любых векторов x, y, принадлежащих V, для любого R выполняются равенства: 1) f(x+y)=f(x)+f(y); 2) f(x)= f(x).
Симметричное отображение относительно прямой x+y=0 в е2.
е1=0*е1-1*е2
е2=-1*е1+0*е2
Линейное отображение удовлетворяет двум условиям линейности. 1) А(У1+У2)=АУ1+АУ2 У- прообраз, V- образ 2) любому вектору У принад. У и любому V любому V: А(λУ)= λАУ. Из условия 1 и 2 следует, что линейное отображение всякой лин. комбинации λ1У1+ λ2У2+….. будет являться линейным отображением.
19.Приведите определение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.
Число λ называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n, если существует ненулевой вектор-столбец R, такой, что А=λ.
Векторы x линейного пространства V называется собственным вектором линейного преобразования V, если выполняется равенство f(x)= x, где - некоторое число. при этом называется собственным значением линейного преобразования в A-1x=1/*x.
Доказательство: Ax=x *A-1
A-1(Ax)=A-1(x)
x=(A-1x) A-1x=1/*x,
20. Дайте определение числа и вектора Фробениуса.
Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного преобразования А, соответствующим собственному числу λ , если .
Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.
Если L - двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования - это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).