- •1. Определение линейного пространства.
- •2. Дайте определение подпространства линейного пространства.
- •3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, свойства линейной зависимости.
- •4. Определение ранга системы векторов и базиса линейного пространства.
- •5. Определение ортогональной системы векторов.
- •6. Дайте определение скалярного произведения в Rn.
- •7. Понятие определенной и неопределенной систем уравнений.
- •8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.
- •9. Дайте определение ранга матрицы.
- •10. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц.
- •11. Определение ортогональной матрицы.
- •Свойства
- •12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.
- •13. Определение обратной матрицы и ее свойства.
- •Cвойства обратных матриц
- •16. Запишите формулу Муавра.
- •18. Сформулируйте определение линейного преобразования.
- •19.Приведите определение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.
- •20. Дайте определение числа и вектора Фробениуса.
- •21. Сформулируйте определение канонического и нормального вида квадратичной формы. Как привести квадратичную форму к нормальному виду.
- •22.Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Проиллюстрируйте закон инерции на примере.
- •23. Критерий Сильвестра.
- •25. Определение отрезка, теорема об отрезке.
- •27. Определение и свойства выпуклого множества.
- •29. Понятие канонической и стандартной задач линейного программирования.
12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.
Главные применения матриц связаны м операцией умножения.
Даны две матрицы:
А – размера mn
B – размера nk
Т.к. длина строки в матрице А совпадает с высотой столбца в матрице В, можно определить матрицу С=АВ, которая будет иметь размеры mk. Элемент матрицы С, расположенный в произвольной i-й строке ( i=1,…,m) и произвольном j-м столбце (j=1,…,k), по определению равен скалярному проиведению двух векторов из : i-й строк марицы А и j-го столбца матрицы В:
Свойства:
-
(АВ)С=А(ВС);
-
А(В+С)=АВ+АС;
-
(А+В)С=АС+ВС;
-
(АВ)=(А)В=А(В);
-
АЕ=А,ЕА=А.
Как определяется операция умножения матрицы А на число λ?
Произведением А на число λ называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента А на λ. Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
13. Определение обратной матрицы и ее свойства.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
Cвойства обратных матриц
Укажем следующие свойства обратных матриц:
1) (A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1
3) (AT)-1 = (A-1)T.
1. Если обратная матрица существует, то она единственная.
2. Не у всякой ненулевой квадратной матрицы существует обратная.
14. Приведите основные свойства определителей. Проверьте справедливость свойства |АВ|=|А|*|В| для матриц
А= и В=
Свойства определителей:
1. Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.
2. При перестановке двух строк определитель умножается на -1.
3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.
4. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.
5. Если элементы некоторой строки определителя А представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Б и Д. В определителе Б указанная строка состоит из первых слагаемых, в Д - из вторых слагаемых. Остальные строки определителей Б и Д - те же, что и в А.
6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое угодно число.
7. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равны 0.
8. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы Ат, т.е. определитель не меняется при транспонировании.
15. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа. Запишите в тригонометрической форме числа √3+i, -1+i.
Каждому комплексному числу z=a+ib может быть поставлен в соответствие вектор (a,b)€R2. Длина этого вектора, равная √a2 + b2 называется модулем комплексного числа z и обозначается через |z|. Угол φ между данным вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg z.
Любое комплексное число z≠0 может быть представлено в виде z=|z|(cosφ +isinφ).
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.
√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);
-1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).
Каждому комплексному числу Z = a + ib может быть поставлен вектор (а; b), принадлежащий R^2. Длина этого вектора, равная КВ из a^2 + b^2, называется модулем комплексного числа и обозначается через модуль Z. Угол между данным вектором и положительным направлением оси Оx называется аргументом комплексного числа (обозначается arg Z).