Глава 4. Построение графиков функций.

При построении графика функции можно придерживаться следующего плана.

1) Найти область определения функции. Выяснить, является ли функция четной (нечетной), периодической.

2) Найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки.

3) Найти асимптоты графика.

4) Сделать эскиз графика.

5) Вычислить, найти экстремумы и промежутки возрастания (убывания) функции.

6) Вычислить, найти точки перегиба и промежутки выпуклость вогнутость функции.

7) Нарисовать график функции.

Глава 5. Примеры задач

1) Построить график функции.

1) Область определения — вся ось , т.е. .D(y)=

2) Функция не является четной или нечетной.

3) Точки пересечения с осями координат: еслиx=0 , то y=1 ; если y=0 , то x=1

4) Точек разрыва и вертикальных асимптот нет. Имеем:

И так, наклонная асимптота .

5) Находим y’= ;y’=0 при ;y’= при x=1 . В окрестности критических точек производная не меняет знака, экстремумов нет. Так как при всех , то функция убывает на всей числовой оси.

6) Находим y”= ; y”=0при ; y”= при x=1 ;y”(-h);y”(h),y”(1-h) ; y”(1+h). Следовательно, в промежутках и кривая вогнута, а в промежутке - - выпукла. Точки перегиба имеют координаты и .

Используя полученные данные, строим искомый график:

2) y = x ^3 + 2x^2 - x - 2 и постройте график.

Решение . Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

1. область определения x R ( x – любое действительное число);

2. область значений y R, так как f ( x ) – многочлен нечётной степени;

3. функция f ( x ) не является ни чётной, ни нечётной

4. f ( x ) – непериодическая функция

5. график функции пересекается с осью Y в точке ( 0, – 2 ),

6. так как f ( 0 ) = - 2 ; чтобы найти нули функции нужно

7. решить уравнение: x^ 3 + 2x ^2 - x - 2 = 0, один из корней

которого ( x = 1 ) очевиден. Другие корни находятся

из решения квадратного уравнения:

X^2 + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена

X^ 3 + 2x^ 2 - x - 2 на двучлен ( x – 1 ). Легко проверить,

что два других корня: x2 = -2 и x3 = -1. Таким образом,

нулями функции являются: -2, -1 и 1.

Это значит, что числовая ось делится этими корнями на

четыре интервала знакопостоянства, внутри которых

функция сохраняет свой знак:

Этот результат может быть получен разложением

многочлена на множители:

x^ 3 + 2x ^2 - x - 2 = ( x + 2 ) ( x + 1 ( x – 1 )

и оценкой знака произведения методом интервалов

Производная f’ ( x ) = 3x^2 + 4x -1 не имеет точек, в которых

она не существует, поэтому её область определения R ( все

действительные числа); нули f’ ( x ) – это корни уравнения:

3x^2 + 4x - 1 = 0 .

Эти корни =-4 /6= функция имеет две критич. точки и три интервала монотонности (-;), (, ) и ( , +)

Полученные результаты сведены в таблицу

3) Исследовать функции и построить их графики.

y=x/1+x^2.

Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.

Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

y’=1+=

Критические точки: x1 = 1; x2= –1.

Ymin=f(-1)=-1/2

Ymax=f(1)=1/2

y”===

2-6x / (1+;

2-6x/ (1+=0, x1=0, x2=-, x3=

F()=-/ 40,4

а) Вертикальных асимптот нет

x: k==0, b=0, y=0

x-: k==0, b==0

б) Асимптота – y = 0.

4) Исследовать функции и построить их графики y=2x-3

D(y)=(–∞; +∞). Точек разрыва нет

2x-3=0 x1=0, x2=3

Пересечение с осью Ox:

y’=2-3=; x1=0, x2=1; ymin=f(1)=-1, ymax=f(0)=0;

а) Вертикальных асимптот нет.

x- =-; x-

Наклонных асимптот нет.

5) Исследовать функции и построить их графики y= lnx/x.

D(y)=(0; +∞). Функция непрерывна на области определения.

Пересечение с осью: =0, x=1

y’=; x=e; ymax=f(e)0,4

y”=-x-2x(1-lnx)/= x=

lnx=

Вертикальная асимптота x = 0.

x-

Наклонная асимптота y = 0