3.3. Пересечение прямой линии с поверхностью

Точки пересечения прямой с поверхностью находят по следующему алгоритму:

1. через заданную прямую проводят вспомогательную секущую проецирующую плоскость; на рис. 24 через прямую l проведена плоскость Σ, перпендикулярная П₁, горизонтальная проекция прямой совпадает с горизонтальным следом плоскости (l₁Σ₁); плоскость Θ – фронтально проецирующая, поэтому на П₂ l₂Θ₂;

2. строят линию пересечения вспомогательной секущей плоскости и заданной поверхности; одна из проекций линии пересечения совпадает с соответствующим следом вспомогательной проецирующей плоскости; вторую проекцию строят из условия принадлежности линии поверхности с помощью прямолинейных образующих для линейчатой поверхности или параллелей для поверхности вращения;

3. точки пересечения построенной линии и заданной прямой – искомые точки.

Рис. 24

Построение точек пересечения прямой и однополостного гиперболоида вращения показано на рис. 25:

1. через прямую проводят вспомогательную плоскость;

2. строят линию пересечения вспомогательной плоскости и заданной поверхности гиперболоида, линия пересечения распадается на две незамкнутые кривые – ветви гиперболы;

3. две точки пересечения заданной прямой с построенной кривой есть искомые.

Рис. 25

На рис. 26 показано решение задачи по нахождению точек пересечения прямой l и однополостного гиперболоида вращения с осью вращения i, перпендикулярной плоскости проекций П₂, и отрезком образующей [КМ] на двухкартинном чертёже.

Точки пересечения P и T получены с помощью алгоритма, описанного выше: прямую l заключают во фронтально проецирующую плоскость  (l₂Θ₂), строят линию пересечения вспомогательной плоскости  и заданной поверхности гиперболоида.

Фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом вспомогательной плоскости Θ₂. Отмечают точки 1₂…10₂.

Обязательно построение характерных точек: точки 3 и 8 принадлежат горлу, точки 1 и 6 принадлежат параллели наибольшего радиуса (очерковой параллели на П₁ и П₂), точки 5 и 10 – параллели, очерковой на П₁. Остальные точки необходимы для более точного построения проекций линии пересечения.

На плоскости П₁ строят точки 1₁…10₁. Для этого используют каркас параллелей гиперболоида.

Линия пересечения распадается на две незамкнутые кривые 1₁…5₁ и 6₁…10₁, которые на П₁ обводят с учетом видимости. Точки пересечения проекций построенной линии и заданной прямой l₁ и есть проекции искомых – P₁ и T₁.

Видимость прямой l определяется исходя из видимости точек пересечения P и T на плоскостях проекций. Видимость точек пересечения устанавливается из принадлежности их видимой или невидимой части гиперболоида.

Точка P на П₁ и П₂ видима. Она принадлежит верхней (выше главной меридиональной плоскости Δ) и передней (до горла) частям поверхности гиперболоида (на рис. 26 видимые части поверхности гиперболоида заштрихованы).

Точка T невидима на П₁ и П₂, поэтому по обе стороны от неё проекции прямой тоже невидимы. В видимой точке P видимость прямой меняется. И если начать обводить прямую l с точки T, то можно обойтись и без конкурирующих точек.

Но для большей ясности на рис. 26 показано применение конкурирующих точек: на П₁ видимость прямой определяется с помощью конкурирующих точек 11 и 12. Точка 11, принадлежащая прямой l, расположена над точкой 12, принадлежащей параллели гиперболоида в точке K, следовательно, слева от точки P₁ прямая лежит над гиперболоидом и видима.

На П₂ видимость прямой определяется с помощью конкурирующих точек 1 и 13. Точка 1, принадлежащая гиперболоиду, расположена перед точкой 13, принадлежащей прямой l, следовательно, слева от точки P₂ прямая лежит за гиперболоидом и невидима.

Рис. 26

На рис. 27 показаны те же прямая l и однополостный гиперболоид. Но точки пересечения P и T получены с помощью вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости  (l₁Θ₁).

Рис. 27

Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает со следом вспомогательной плоскости Θ₁. Отмечают точки 1₁…5₁ и с ними совпадающие 6₁…10₁, принадлежащие невидимой части поверхности на П₁.

Обязательно построение характерных точек: точки 3 и 8 принадлежат горлу, точки 1 и 6 принадлежат параллели наибольшего радиуса (очерковой параллели на П₁ и П₂), точки 5 и 10 – параллели, очерковой гиперболоида на П₁.

Остальные промежуточные точки необходимы для более точного построения проекций линии пересечения.

На плоскости П₂ строят точки 1₂…10₂. Для этого используют каркас параллелей гиперболоида.

Линия пересечения распадается на две незамкнутые кривые 1₂…5₂ и 6₂…10₂, которые на П₂ обводят с учетом видимости.

Точки пересечения проекций построенной линии и заданной прямой l₂ и есть проекции искомых – P₂ и T₂.

Последний вариант решения задачи по нахождению точек пересечения прямой с гиперболоидом, в котором в качестве вспомогательной выбрана горизонтально проецирующая плоскость, представляется более наглядным – последовательность соединения точек линии пересечения сохраняется на П₁ и П₂.

На рис. 28 построены точки пересечения прямой l(AB) и косой плоскости с направляющими прямыми (KM) и (LN) и плоскостью параллелизма ₁.

Точки пересечения P и S получены с помощью следующего алгоритма: прямую l заключают в проецирующую плоскость – фронтально проецирующую  (l₂  Θ₂), строят линию пересечения вспомогательной плоскости  и заданной поверхности косой плоскости.

Фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом вспомогательной плоскости Θ₂. Отмечают точки 1₂…7₂.

Выбор в качестве вспомогательной плоскости фронтально проецирующей оправдан тем, что на П₂ проекции прямолинейных образующих параллельны, что упрощает построение недостающих проекций.

Строят горизонтальные проекции точек 1₁…7₁, для этого используют каркас прямолинейных образующих косой плоскости.

Линия пересечения представляет собой незамкнутую кривую, которую на П₁ обводят с учетом видимости.

Точки пересечения проекций построенной линии 1₁…7₁ и заданной прямой l₁ и есть проекции искомых: P₁ и S₁.

На П₁ и П₂ обе точки пересечения видимы, поэтому без конкурирующих точек для определения видимости не обойтись.

На П₂ видимость прямой определяется с помощью конкурирующих точек 1 и 8. Точка 1, принадлежащая направляющей косой плоскости, расположена за точкой 8, принадлежащей прямой l, следовательно, слева от точки P₂ прямая лежит перед косой плоскостью и видима.

На П₁ видимость прямой определяется с помощью конкурирующих точек 9 и 10. Точка 9, принадлежащая направляющей косой плоскости, расположена над точкой 10, принадлежащей прямой l, следовательно, слева от точки P₁ прямая лежит под косой плоскостью и невидима, пока не пересекла очерк поверхности.

Рис. 28