10). Предел последовательности. Связь с бесконечно малыми.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Последовательность сходится к числу

Существует предел при стремящемся к бесконечности в последовательности S, равный А

Для любого положительного все члены последовательности начиная с некоторого попадают в окрестность точки А

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: последовательность называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ, если

ТЕОРЕМА: Последовательность сходится , где последовательность бесконечно малая. (т.е. можно привести в вид А + бесконечно малая)

ДОК-ВО:

А).

Б). - бесконечно малая

А и Б одно и то же. Ч.Т.Д.

ТЕОРЕМА: Произведение ограниченной и бесконечно малой последовательности – бесконечно малая

ДОК-ВО: Пусть - ограничено, - бесконечно малая

Т.е.

или

Тогда:

Тогда: ;

Т.е Ч.Т.Д.

11). Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.

Если последовательность сходится, то его предел единственен.

ДОК-ВО: Пусть и Показать, что А = В

От противного: Пусть АВ А С В

(А<В)

Тогда :

1). окрестности А и В не пересекаются

2). , то

3).

Выберем

По 2), и 3), , но это противоречит 1)

Ч.Т.Д.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

ДОК-ВО: , т.е.

Пусть =1, тогда

Т.е.

, тогда N

0 A – 1 A A+1

A – 1 A A+1 0

0

0

12).Предел и неравенства. Лемма о двух милиционерах.

ТЕОРЕМА (Лемма о сохранении знака)

Пусть , причём А < В, тогда при всех достаточно больших

ДОК-ВО:

А С В

Пусть (по условию) Поскольку , то , что

= С

, что

т.е. Ч.Т.Д.

СЛЕДСТВИЯ (о предельном переходе в неравенствах)

1). Если для всех достаточно больших , то

ДОК-ВО:

1). От противного:

Пусть (по лемме о сохранении знака) для всех достаточно больших .

Противоречие с условием.

2).Частный случай 1).

ТЕОРЕМА(Лемма о двух милиционерах)

Пусть для , при чём и .

ДОК-ВО:

Пол условию , что

(и зная , т.е. )

, что

(и зная )

(т.е. )

Ч.Т.Д.

13). Предел и арифметические операции.

Пусть , при

1).

2).

3). Если и

(, аналогично произведение, разность и частеное)

(«предел суммы равен сумме пределов»)

ДОК-ВО:

1)по условию , т.е. , такой, что

Аналогично , ЧТО

Выберем , тогда

2)

Т.к. - сходится, то , что N

, тогда

А т.к.

3).

, что

тогда:

14).Монотонные последовательности. Критерий монотонной сходимости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (Монотонные последовательности)

{x_n} – возрастающая , убывающая если

Невозрастающая , неубывающей если

Все четыре типа называются монотонными последовательностями. Возрастающие и убывающие – строго монотонные. Невозрастающие и неубывающие – нестрого монотонные.

ТЕОРЕМА (Критерий сходимости монотонной последовательности).

Пусть монотонна, тогда она сходится она ограничена.

ДОК-ВО:

() Очевидно

() Пусть неубывающая и ограничена.

Покажем, что сходится N

Т.к. ограничено, то - ограниченное множество,

(По принципу верхней грани)

С – верхняя граница для , т. е. N

Причём наименьшая верхняя граница. , тогда не верхняя граница

Т.е. , что

Но:

Т.е.

Ч.Т.Д.