7). Вложенные отрезки. Принцип вложенных отрезков.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Последовательность элементов из множества х называется отображение из N в х

Последовательность Элемент обозначает

{} – последовательность

ОПРЕДЕЛЕНРИЕ: Пусть {E_n} – последовательность множеств. Эта последовательность называется последовательностью вложенных множеств, если

(т.е. )

ТЕОРЕМА (Принцип вложенных отрезков).

Пусть {I_n} – последовательность вложенных отрезков

1). Тогда все эти отрезки имеют общую точку, т.е. , что

2). Если в этой последовательности {I_n}есть отрезки сколь угодно малой длинны, то такая точка единственна.

ДОК-ВО: Пусть ;

A – множество левых концов

В – множество правых концов

Тогда: Множество А левее В (т.е. )

От противного: Пусть для некоторых n и m .

a_n b_m a_n b_n

не пересекаются – противоречит вложенности

Т.к. А0, В 0, то по аксиоме полноты существует С, разделяющее А и В (т.е. , ) т.е.

Значит С – общая для всех отрезков.

Пусть С₁ и С₂

От противного: Пусть и

I_n

a_n C₁ C₂ b_n

_C1, С₂;

_{|In| - длина In=bn-an}

Т.е. длины всех I_n числа С₂-С₁>0

Что противоречит предложению последовательности если отрезки сколь угодно малой длинны.

С₁>C₂ аналогично

Единственность общей точки доказана.

8). Предельная точка множества. Принцип предельной точки.

ОПР: ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ называется любой интервал. Содержащий точку

(т.е. - окрестность )

- окрестность точки

- проколотая окрестность (точка а не входит)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Точка называется предельной точкой для если в любой её окрестности содержится бесконечно много точек из Е (Для конечных множеств)

ТЕОРЕМА (принцип предельной точки)

Для любого бесконечного ограниченного множества Е существует хотя бы одна предельная точка.

ДОК-ВО:

1). Е ограничено тогда и только тогда, когда существует верхняя граница (С₂), существует нижняя граница (С₁) Т.е.

Е

С₁ С₂

Это означает, что

От противного: Пусть нет предельных точек на Е. Тогда не предельная для Е

Т.е. для при х в в которой содержитсяконечное число точек из Е.

Рассмотрим систему интервалов Эта система – покрытия (т.к. ) (По принципу конечного покрытия) Существует конечное подпокрытие этого покрытия Но в каждом конечное числог точек из Е. Значит все вместе покрывают конечное число точек из Е

НО покрывает в - конечное число точек.

Противоречие. Теорема доказана.

9). Покрытия и подпокрытия. Принцип конечного покрытия.

Система x={S} множеств называется покрытием множества Е тогда и только тогда, когда Е содержится в объединении множеств этой системы.

КОНЕЧНОЕ ПОКРЫТИЕ состоит из конечного числа множеств

ПОДПОКРЫТИЕ покрытия S – это подсистема системы S, являющиеся покрытием.

ТЕОРЕМА (Принцип конечного покрытия)

Из всякого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное подпокрытие.

ДОК_ВО: Пусть - покрытие

От противного

Пусть нельзя выделить конечное подпокрытие

Разделим пополам, тогда одну из его половин нельзя покрыть конечным числом интервалов системы;

Обозначим его через . Разделим и его пополам и т.д..

Получили последовательность отрезков , каждый из которых нельзя покрыть конечным числом интервалов системы.

_{Эта система вложенных отрезков. (Принцип вложенных отрезков)} Тогда но - покрытие интервал этой системы, покрывающий точку С _α<C<β

По неравенству Бернулли При достаточно больших

Т.е. покрывает одним интервалом системы. ПРОТИВОРЕЧИЕ. Теорема доказана