- •Теория автоматического управления
- •Глава 1. Основные понятия и определения
- •1.1. Система автоматического управления (регулирования)
- •XI(t) – управляемая величина; qi(t) – возмущающее воздействие;
- •1.3. Ошибка регулирования и отклонение
- •1.4. Статическое и астатическое регулирование
- •1.6. Основные характеристики сау и ее звеньев
- •1.6.1. Передаточная функция
- •1.6.2. Коэффициент передачи
- •1.6.3. Статическая характеристика. Коэффициент статизма
- •1.6.4. Переходная характеристика
- •1.6.5. Частотные характеристики
- •1.7. Уравнения статики и динамики
- •1.7.1. Общие замечания
- •1.7.2. Уравнения статики
- •1.7.3. Уравнения динамики
1.6.4. Переходная характеристика
Переходной характеристикой h(t) называют изменение во времени величины на выходе xвых(t) при подаче на вход воздействия в виде заданной функции времени при нулевых начальных условиях.
В качестве входного воздействия часто рассматривают воздействие в виде единичной функции (рис.1.10)
|
Рис I.10. Временной график единичной функции воздействия |
При этом предполагается, что все величины выражены в относительных единицах, т.е. отнесены к некоторым базовым значениям.
Переходные процессы, вызываемые 1(t), можно разбить на 3 вида (рис. 1.11):
1) монотонные, в которых первая производная не меняет знак (рис. 1.11, кривая 1);
2) колебательные периодические в которых производная меняет знак теоретически бесконечное число раз (рис. 1.11, кривая 2);
3) апериодические, происходящие без периодичности смены знака производной и имеющие ограниченное число экстремумов (рис. 1.11, кривая 3).
|
Рис I.11. Виды переходных процессов |
Полагая xвх(t)=1 и xвых(t)=h(t), и учитывая, что изображением по Лапласу единичной функции является 1/p, получим из (1.9):
откуда
|
(1.14) |
где L-1 – символ обратного преобразования Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа, позволяющее найти оригинал по известному изображению, удобно осуществить с помощью так называемой теоремы разложения. При этом, если учесть (1.10),
|
(1.15) |
где K(0) и D(0) – соответственно K(p) и D(p) при p=0; pk – корни уравнения D(p)=0; n – порядок характеристического полинома; .
В некоторых случаях в K(p) коэффициент bo (см. (1.10)) бывает равным нулю. Применительно к этому случаю, переходная характеристика находится так
|
(1.16) |
Примеры применения теоремы разложения приведены в разделе 2.2.
1.6.5. Частотные характеристики
Частотные характеристики применимы как к отдельному звену системы, так и к системе в целом.
|
Рис I.10. Линейная система под воздействие гармонического возмущения |
С помощью частотных характеристик определяются частотные свойства системы. При этом имеется в виду, что воздействия имеют синусоидальный (гармонический) характер, и рассматривается установившийся режим.
Отношение установившегося значения синусоидальной величины на выходе к синусоидальной величине на входе, выраженное в символической (комплексной) форме при заданной частоте ωk (см. рис. 1.10), называется комплексным коэффициентом передачи для частоты ωk.
где – синусоидальное воздействие на входе; – синусоидальная величина на выходе; – модуль комплексного коэффициента передачи; – аргумент комплексного коэффициента передачи; – заданная частота синусоидальных колебаний.
Если изменять частоту колебаний на входе, то в зависимости от частотных свойств системы будут соответствующим образом меняться амплитуда и фаза колебаний на выходе, т.к. будет меняться комплексный коэффициент передачи.
Зависимость комплексного коэффициента передачи от частоты называется комплексной частотной функцией:
|
(1.17) |
Функция W(jω) легко может быть получена из выражения передаточной функции, если в (1.8) положить p=jω, т.е.
|
(1.18) |
Комплексную частотную функцию часто представляют графически в комплексной плоскости (рис. 1.11) в виде годографа вектора комплексной частотной функции, который также называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой. Каждая точка амплитудно-фазовой частотной характеристики соответствует определенному значению частоты.
|
Рис I.11. Амплитудно-фазная частотная характеристика |
Характеристика линейной системы, представляющая собой модуль комплексной частотной функции, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ):
|
(1.19) |
Характеристика линейной системы, представляющая собой аргумент комплексной частотной функции, называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ):
|
(1.20) |
Если в (1.17) выделить вещественную и мнимые части, то получится еще две частотные характеристики: соответственно вещественная (ВЧХ) и мнимая (МЧХ):
Между частотными характеристиками имеют место очевидные соотношения, характерные для комплексных величин, например:
Все частотные характеристики могут быть изображены графически. При этом A(ω), (ω), U(ω), V(ω) изображаются в декартовых координатах, а W(jω) – в комплексной плоскости.
Пример. Составить аналитических выражений комплексной частотной функции, АЧХ и ФЧХ элементов САУ, имеющих передаточные функции:
а)
б)
Решение:
а) – комлексная частотная функция.
Для нахождения других характеристик необходимо выделить в комплексной чатотной функции вещественную и мнимую части:
.
б) Делая такие же операции со второй функцией получаем следующие ответы:
;
;
.