Пункт 8

Hайдем интервальные оценки параметров нормального закона распределения. Для нахождения доверительного интервала, покрывающего математическое ожидание СВ Х, найдем по таблицам квантилей распределения Стьюдента по заданной доверительной вероятности

1 - = = 0,95

и числу степеней свободы = n – 1= 100-1 = 99

число = 1,984.

Вычислим предельную погрешность интервального оценивания:

= = 1,984= 3,561.

Запишем искомый доверительный интервал для математического ожидания а:

х - < а < х + ,

50,57 – 3,561< а < 50,57 + 3,561,

47,009 < а < 54,131.

Если будет произведено достаточно большое число выборок объема n CB X (измерение высоты у 100 сосен) из одной и той же генеральной совокупности, то в 95% выборок доверительный интервал (47,01;54,13) покроет математическое ожидание а; и только в 5% выборок математическое ожидание может выйти за границы доверительного интервала.

Для нахождения доверительного интервала, покрывающего неизвестное среднее квадратическое отклонение с заданной вероятностью 1 - = = 0,95, найдем по = 0,95 и числу степеней свободы ₁ =0,878 и ₂ = 1,161

Искомый доверительный интервал равен:

₁ * S_x < < ₂*Sx,

0,878*17,95 < < 1,161*17,95,

15,760 < < 20,840.

Если будет произведено достаточно большое число выборок объема n CB X из одной и той же генеральной совокупности, то в 95% выборок доверительный интервал (15,76;20,84) покроет среднее квадратическое отклонение , и только в 5% среднее квадратическое отклонение может выйти за границы доверительного интервала (15,76;20,84).

Пункт 9

Проведем корреляционный анализ выборочных данных случайных величин Х и У.

а) составим корреляционную таблицу. Как известно, для СВ Х выбраны следующие интервалы:

( 10,1; 19,9], (19,9; 29,7], (29,7; 39,5], (39,5; 49,3], (49,3; 59,1], (59,1;68,9], (68,9; 78,7], (78,7;88,5], (88,5;98,3].

для СВ У:

(11,5; 14,5], (14,5; 17,5], (17,5; 20,5], (20,5; 23,5], (23,5; 26,5], (26,5;29,5], (29,5; 32,5], (32,5;35,5], (35,5;38,5].

Подсчитываем количество пар исходной выборки (х_i ; у_i), попадающих в прямоугольники, образованные границами интервалов (Таблица 8). Для этого принадлежность пары (х_i ; у_i) к определенному прямоугольнику отмечаем внутри этого прямоугольника точкой.

Таблица 8

Таблица для частот n_xy пар значений (х_i ; у_i)

Интервалы для У	Интервалы для Х
	(10,1;19,9]	(19,9;29,7]	(29,7;39,5]	(39,5;49,3]	(49,3;59,1]	(59,1;68,9]	(68,9;78,7]	(78,7;88,5]	(88,5;98,3
(11,5; 14,5]
(14,5; 17,5]
(17,5; 20,5]
(20,5; 23,5]
(23,5; 26,5]
(26,5;29,5]
(29,5; 32,5]
(32,5;35,5]
(35,5;38,5]

В окончательной корреляционной таблице вместо интервалов для СВ Х и СВ У записываем середины интервалов и соответствующие частоты n_{x и} n_y.

Таблица 9

Корреляционная таблица эмпирического распределения двумерной СВ(Х;У)

У\Х	15	24.8	34.6	44.4	54.2	64	73.8	83.6	93.4	ny
13	1	1								2
16	2	3	1							6
19	1	5	4	6	2					18
22		1	9	8	1					19
25			1	6	6	7				20
28				1	6	6	7			20
31					1	3	4	3		11
34						1	1	1		3
37									1	1
nx	4	10	15	21	16	18	12	4	1	n=100

б) Зная, что х=50,57, у=24,31, Sx = 17,95, Sу = 5, вычисляем сначала выборочный корреляционный момент:

,

где m – число заполненных клеток.

(13*15+15*16*2+15*19+24,8*13+24,8*3*16+24,8*19*5+24,8*22+34,6*16+34,6*4*19+34,6*9*22+34,6*25+44,4*6*19+44,4*8*22+44,4*6*25+44,4*28+54,2*2*19+54,2*22+54,2*5*25+54,2*7*28+54,2*31+64*7*25+64*6*28+64*3*31+64*34+73,8*7*28+73,8*4*31+73,8*34+83,6*3*31+83,6*34+93,4*37)-(24,31*50,57)=1296,612-1229,3567=67,2553

Выборочный коэффициент корреляции:

,

.

Положительный знак выборочного коэффициента корреляции показывает, что с увеличением значений CВ Х (высоты дерева) эмпирические значения CВ У (диаметра) в среднем увеличиваются.

в)Проверим значимость полученного выборочного коэффициента корреляции, т. е. проверим нулевую гипотезу о том, что коэффициент корреляции равен нулю (Н₀ : = 0) при альтернативной гипотезе Н_а : = 0.

Вычислим статистику:

t_набл =

Принятие гипотезы Н_а при уровне значимости = 0,05 означает,что выборочный коэффициент корреляции отличается от нуля с ошибкой 5%.

Найдем по таблицам квантилей распределения Стюдента по наиболее употребляемому уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы = n – 2 квантиль t(1 – a; n – 2) = t(0,95; 98) = 1,984.

Так как t_набл=11,2048 > 1,984, то нулевая гипотеза отвергается и коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Это означает, что между СВ Х и СВ У существует корреляционная зависимость.

г) Построим корреляционное поле. Изобразим результаты измерений (х_i ; у_i) в виде точек в декартовой системе координат (рис. 7).

Рис. 7- Корреляционное поле и линии регрессии.

По виду корреляционного поля видно, что между Х и У имеется прямолинейная регрессивная зависимость.

д) Найдем выборочное уравнение регрессии У на Х:

у_х = у + *

Выборочное уравнение регрессии Х на У таково:

х_у = х + *

Контроль вычислений:

0,209*2,7 = 0,5643=²

Графики найденных выборочных функции регрессии нанесены на рис.7

ВЫВОД

Была проведена исследовательская работа над случайной двумерной величиной Х- высота сосен, м; У- диаметр сосен у основания, см. Были построены интервальный и дискретный статистически ряды распределения частот и относительных частот, гистограммы и полигоны относительных частот, эмпирические функции распределения. Были вычислены числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса. Для Х и для У несимметричный полигон (гистограмма). Правосторонняя асимметрия данного распределения, и полигон менее крут чем нормальная кривая.

Х и У распределены по нормальному закону, это видно исходя из механизма их образования, по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Далее были найдены точечные оценки параметров нормального закона распределения, и записаны функции плотности распределения вероятностей для Х и для У.

Проверила с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения. Была приняты гипотезы и найдены интервальные оценки параметров нормального закона распределения

И теперь соединив значения Х высота сосен, м. и У- их диаметр у основания, см. провела корреляционный анализ: составила корреляционную таблицу; нашла выборочный коэффициент корреляции; проверила значимость выборочного коэффициента корреляции r_в ;построила корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем подобрать общий вид функции регрессии; нашла эмпирические функции регрессии У на Х, X на Y и построила их графики.