- •1 Билет. Понятие множества , элемента множества.
- •2 Билет. Конечные и бесконечные множества.
- •3 Билет. Свойства операций объединения и пересечения множеств.
- •4 Билет. Прямое произведение множеств.
- •5 Билет. Бинарные отношения.
- •6. Функция как закон соответствия между множествами
- •7. Класс элементарных функций
- •8. Суперпозиция функций.
- •9. Последовательность - функция натурального аргумента.
- •10. Бесконечно малые последовательности
- •11 Билет. «»
- •12 Билет. «»
- •21 Билет. Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательности:
- •22.Признаки существования предела последовательности.
- •23. Замечательный предел типа «е».
- •24. Предел функции в точке.
- •25. Определение предела функции на языке языке «ε» — «δ».
- •31. Теоремы об арифметических свойствах пределов.
- •32. Сравнение бесконечно малых функций
- •33.«Замечательный» предел - предел отношения синуса бесконечно малого угла к этому углу.
- •34. Определение непрерывности функции в точке.
- •41 Определение производной.
- •42 Приращение функции и вычисление средней скорости изменения функции.
- •43 Геометрический смысл производной.
- •44 Связь между непрерывностью и существованием производной.
- •45) Правила вычисления производной от суммы, произведения и частного функций.
- •46 Производная сложной функции
- •48 Бином Ньютона. Формула Ньютона-Лейбница.
- •49 Теорема Лагранжа о конечном приращении функции на отрезке.
- •50 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •51.Понятие о дифференциале функции.
- •52.Геометрический смысл дифференциала функции.
- •53.Связь дифференциала и производной функции.
- •54.Свойства дифференциала.
- •55.Таблица дифференциалов.
- •60 Метод интегрирования «по частям» для вычисления неопределенного интеграла.
- •61 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
- •62 Задача нахождения площади криволинейной трапеции.
- •63 Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •64 Производная определенного интеграла по верхнему пределу.
- •64.Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •69. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами.
- •70. Несобственные интегралы от разрывных функций.
- •71. Интеграл вероятностей (Пуассона).
46 Производная сложной функции
Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка. Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной n -1-го порядка. По определению сама функция считается производной нулевого порядка от самой себя.
; ; ... , . .
Относительно этих производных надо знать формулу Лейбница
.
Обратные тригонометрические функции.
Рассмотрим функцию y = arcsin x. На отрезке обратной к ней функцией будет x = sin y. Продифференцируем эту функцию по x, считая y функцией от x: или (на указанном отрезке).
|
|
Но (еще одно следствие замечательного предела ). Если a > 0, a ≠ 1, то
При x > 0 для любого Таким образом,
47) Нахождение производных от элементарных функций
Элементарные функции — функции, которые можно получить из основных элементарных функций (полиномиальная функция, рациональная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических действий и композиций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, т.е. набором конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям.
Производные и интегралы элементарных функций
Функция |
Производная |
Первообразная |
Константа: |
||
C |
0 |
Cx + C1 |
Тригонометрические функции: |
||
sin x |
cos x |
–cos x + C |
cos x |
–sin x |
sin x + C |
tg x |
||
ctg x |
||
Обратные тригонометрические функции: |
||
arcsin x |
||
arccos x |
||
arctg x |
||
arcctg x |
||
Степенная, показательная и логарифмическая функции: |
||
ex |
ex |
ex + C |
ax |
ax ln a |
|
loga x |
||
ln x |
x ln x – x + C |
|
xα, α ≠ –1 |
48 Бином Ньютона. Формула Ньютона-Лейбница.
Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл
который называется интегралом с переменным верхним пределом.
Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.
Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в причем
Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида
где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.
теорема Ньютона – Лейбница: Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда
Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).
Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.
Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нажнем пределах интеграла
Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления опред.интеграла сводится к задаче исчисления неопред.интеграла, которая достаточно полно изучена.