- •1 Билет. Понятие множества , элемента множества.
- •2 Билет. Конечные и бесконечные множества.
- •3 Билет. Свойства операций объединения и пересечения множеств.
- •4 Билет. Прямое произведение множеств.
- •5 Билет. Бинарные отношения.
- •6. Функция как закон соответствия между множествами
- •7. Класс элементарных функций
- •8. Суперпозиция функций.
- •9. Последовательность - функция натурального аргумента.
- •10. Бесконечно малые последовательности
- •11 Билет. «»
- •12 Билет. «»
- •21 Билет. Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательности:
- •22.Признаки существования предела последовательности.
- •23. Замечательный предел типа «е».
- •24. Предел функции в точке.
- •25. Определение предела функции на языке языке «ε» — «δ».
- •31. Теоремы об арифметических свойствах пределов.
- •32. Сравнение бесконечно малых функций
- •33.«Замечательный» предел - предел отношения синуса бесконечно малого угла к этому углу.
- •34. Определение непрерывности функции в точке.
- •41 Определение производной.
- •42 Приращение функции и вычисление средней скорости изменения функции.
- •43 Геометрический смысл производной.
- •44 Связь между непрерывностью и существованием производной.
- •45) Правила вычисления производной от суммы, произведения и частного функций.
- •46 Производная сложной функции
- •48 Бином Ньютона. Формула Ньютона-Лейбница.
- •49 Теорема Лагранжа о конечном приращении функции на отрезке.
- •50 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •51.Понятие о дифференциале функции.
- •52.Геометрический смысл дифференциала функции.
- •53.Связь дифференциала и производной функции.
- •54.Свойства дифференциала.
- •55.Таблица дифференциалов.
- •60 Метод интегрирования «по частям» для вычисления неопределенного интеграла.
- •61 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
- •62 Задача нахождения площади криволинейной трапеции.
- •63 Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •64 Производная определенного интеграла по верхнему пределу.
- •64.Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •69. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами.
- •70. Несобственные интегралы от разрывных функций.
- •71. Интеграл вероятностей (Пуассона).
7. Класс элементарных функций
Элементарные функции — функции, которые можно получить из основных элементарных функций (полиномиальная функция, рациональная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических действий и композиций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, т.е. набором конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям.
Другими словами,
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:
многочлен,
рациональная,
степенная,
показательная и логарифмическая,
тригонометрические и обратные тригонометрические.
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
Элементарные функции разделяются на алгебраические и трансцендентные.
8. Суперпозиция функций.
В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.
Пусть имеются две функции: z = h(y) и y = g(x), причем область значений функции g принадлежит области определения функции h. Тогда функция z = h(g(x)) называется композицией функций h и g, или сложной функцией, или суперпозицией функций. Аналогично можно рассматривать композицию любого конечного числа функций.
Пример
Функции у = 5sin2(3x – 1); y = 5sin3x; y = x3x; y = ln(ctgx) – композиции различных элементарных функций. В математическом анализе и теории вероятностей композицией (свёрткой) называют и другие способы образования из двух функций, f(x) и g(x), третьей, h(x), например:
Композицией двух преобразований называют последовательное выполнение этих преобразований, а также полученное в результате этого итоговое преобразование. Если в результате первого преобразования фигура Ф1 перешла в фигуру Ф2, а в результате второго преобразования фигура Ф2 перешла в фигуру Ф3, то композиция этих преобразований – преобразование, которое переводит фигуру Ф1 в фигуру Ф3.
Вообще термин «композиция» употребляют для обозначения любой операции, которая по определенному правилу ставит в соответствие паре элементов третий элемент.
Происхождение термина – латинское слово composition (составление).
9. Последовательность - функция натурального аргумента.
1. Последовательностью называется бесконечное занумерованное множество действительных чисел, обозначаемое а1, а2,... , аn,... , или кратко
Другое определение последовательности — функция натурального аргумента.
10. Бесконечно малые последовательности
Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если
Оределение. Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если , то есть если .
Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.
1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.
2. Бесконечно малая последовательность ограничена.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
4. Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/xn}, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn} – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/xn} есть бесконечно большая последовательность.