- •Вопросы к зачету по высшей математике.
- •Определитель (детерминант) – многочлен от элементов квадратной матрицы. (обозначается ∆, det a, |a|, d)
- •(Практика) 2х2, 3х3, 4х4
- •В том случае, если определитель матрицы равен нулю – обратной матрицы не существует.
- •Система линейных алгебраических уравнений - это система уравнений вида, где
- •X1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. A11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными.
- •19. Ранг системы векторов - это количество линейно-независимых векторов в ней и равен ранUу матрицы, составленной из координат этих векторов (как найти ранг матрицы – вопрос 6).
- •20. Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, один из концов которого выделен и называется началом, а другой — концом.
- •22. Если хотя бы один из векторов — нулевой, то остальные вектора тоже считаются компланарными.
- •24. Уравнение в отрезках по осям: где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
- •25. Каноническое уравнение прямой:
- •27. Если x1 и y1 - координаты точки a, а x2 и y2 - координаты точки b, то координаты X и y точки c, делящей отрезок ab в отношении , определяются по формулам и .
- •28. Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
- •29. A называется пределом последовательности , если почти для всех an выполняется
- •31. У каждой последовательности существует не более одного предела.
- •32. F(х) – функция одной переменной, х называется независимой переменной (аргументом), у – зависимой (функцией).
- •33. Предельная точка множества. Точка р называется предельной точкой множества м, если в любой окрестности точки р имеется, по крайней мере, ещё одна точка множества м, кроме точки р.
- •43. Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
- •44. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.
- •45. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при , то есть
- •48. Дифференциал функции численно равен приращению касательной.
-
Определитель (детерминант) – многочлен от элементов квадратной матрицы. (обозначается ∆, det a, |a|, d)
При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
-
(Практика) 2х2, 3х3, 4х4
-
Обратная матрица A-1= 1/|A|*AТ˳
A˳ = Матрица миноров * на матрицу знаков
Матрица миноров – посредством нахождения каждого определителя.
Для проверки A* A-1 = E
-
В том случае, если определитель матрицы равен нулю – обратной матрицы не существует.
-
(практика) Ранг матрицы - максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Если ранг матрицы равен r, то любые m:n > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
Если A — квадратная матрица, определитель которой = 0 , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
Пусть ранг матрицы = r, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
Найти можно по «Методу окаймляющих миноров» или с помощью «элементарных преобразований».
СЛАУ
-
Система линейных алгебраических уравнений - это система уравнений вида, где
X1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. A11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными.
Система является…
однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.
квадратной, если m=n
совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.
определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.
Решение системы - совокупность чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого в систему обращает все её уравнения в тождества.
Совместная система может иметь одно или более решений.
-
СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.
Система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных. (это и есть теорема Кронекера-Капелли)
-
Решать можно школьным методом (выражение одной переменной через другую и подстановка в выражение), сложением и вычитанием строк, матричным методом (см. вопрос 10), с помощью теоремы Крамера (см. вопрос 11) или Гаусса (см. вопрос 12).
-
(практика)Матричный метод – решение с помощью обратной матрицы (A-1) Подходит только для невырожденных (det≠0).
AX = B, значит Х=В/А=В* A-1 (как найти A-1 смотри 4-й вопрос)
-
(практика) Метод Крамера (det≠0)
1. Записываем коэффициенты при Х в виде матрицы.
2. Рассчитываем det матрицы.
3. Заменяем 1-ю (потом 2-ю и 3-ю строку) на столбец свободных членов,
рассчитываем их det-ты.
4. Находим иксы по формуле:
12.(практика) Метод Гаусса
-
Записываем уравнения в расширенную матрицу
-
Элементарные преобразования (перестановка строк (столбцов), складывание вычитание строк (столбцов))
-
Главная цель – привести к ступенчатому виду (под диагональю 0-ли)
-
Подстановка в нижнее уравнение Х и решение снизу-вверх.
13. Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0) (рисунок к 10-му вопросу). Имеет ненулевое решение, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A˂ n.
14. (практика) Метод: 1. Записать в виде матрицы, отдельно Х, отдельно коэффициенты, отдельно свободные члены (0-ли) 2. Привести к ступенчатому виду (элементарные преобразования).
3. Найти ранг системы и кол-во решений(n-rang). N – кол-во переменных.
4. Переписать в виде уравнений и выразить из них любую переменную.
5. Подставить 1-цу в переменную, найти остальные. Записать в табличку.
6. Ответ записать в виде вектора.
ВЕКТОРЫ
15. N-мерным вектором называется последовательность чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.
Вектор записывается в виде строки или столбца:
Существуют: нулевой вектор (все цифры = 0), единичные векторы специального вида (одно из чисел единица). Векторы можно: умножать на число, складывать, перемножать, находить модуль вектора. При сложении, умножении – можно менять местами, выносить за скобки.
Сложение:
Перемножение:
Умножение на число: λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)
Модуль вектора: . (То есть записать так вектор и перемножить его по свойству, получится число)
16. Арифметическое n- мерное векторное пространство - это множество всех арифметических n-мерных векторов, а также их суммы и произведения на числа. Обозначается «V».
Аксиомы:
1)сумма любых двух элементов из V и произведение скаляра и произвольного элемента из V являются некоторыми элементами из V. (выводится из определения векторного пространства (см. вверх)).
2)сложение любых трёх элементов из V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят - векторное сложение ассоциативно): .
3)сложение любых двух элементов из V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно):
4)существует такой элемент из V (нулевой вектор), что для любого верно
5)для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна
6) (обратить внимание – вектор ТОЛЬКО СО СТРЕЛКОЙ, остальные – числа)
7)
8)
9)
17. Длина = модулю вектора (см. 15 вопрос, в конце). Скалярное произведение (см. 15 вопрос). Ортогональность(перпендикулярность): Если выполняется – перпендикулярны.
18. Система векторов A1, A2,...,An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ1, λ2,...,λn, при котором линейная комбинация векторов λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору. Условие: все λ≠0. Если λ=0, то система линейно независима. Эквивалентные системы – системы, которые можно выразить друг через друга. Их ранги равны. Эквивалентные преобразования – изменение нумерации вектора, удаление нулевого вектора, удаление линейной комбинации векторов, умножение на число, прибавление к одному вектору линейную комбинацию других векторов системы.