8.3. Уточнение корней уравнения на доверительном отрезке. Метод половинного деления

В простейшем случае уточнение корня на доверительном отрезке [a,b] с заданной точностью  означает задание абсолютной погрешности, с которой приближенное значение корня x_пр может отличаться от точного значения корня x*:

 x* - x_пр≤  . (8.4)

и численное определение нового итогового доверительного отрезка [,], на котором все точки x_пр[,] удовлетворяют условию (8.4).

Итерационное численное определение итогового доверительного отрезка [,] при простейшем варианте реализации методов уточнения заключается в последовательных вычислениях приближенных значений корня x₁, x₂,..., x_i, построении на каждом шаге i нового сокращенного доверительного отрезка [a_i,b_i] и проверке его длины. Если b_i - a_i ≤ , то доверительный отрезок требуемой длины  найден, вычисления завершаем. Иначе (при b_i - a_i>) переходим к новой итерации и продолжаем сокращать доверительный интервал.

Данная простейшая схема чаще всего срабатывает. Однако в реальных расчетах при поиске итогового доверительного отрезка [,] встречаются такие ситуации, когда для очередного приближенного значения x_i значение функции оказывается практически равным нулю: f(x_i)  0. Данную ситуацию кратко назовем попаданием в корень, поскольку в этом случае значение x_i очень близко к искомому корню x*. При этом из-за погрешностей вычислений f(x_i) может возникнуть ошибка в знаке функции, из-за чего уже на следующей итерации может быть потерян искомый корень уравнения, т.е. будут строиться доверительные интервалы, не содержащие x*.

Для устранения возможной потери корней необходимо уже на этапе постановки задачи учесть погрешность вычисления функции и возможность попадания в корень.

Корректная (позволяющая всегда найти решение при возможном попадании в корень) постановка задачи уточнения на доверительном отрезке [a,b] с заданной точностью  и погрешностью вычисления функции _f означает численное определение:

1) либо нового итогового доверительного отрезка [,] длины, не превышающей  :

( - )   (8.5а)

2) либо приближенного значения корня x_пр, у которого:

f(x_i)< _f. (8.5б) С учетом новой постановки задачи уточнения корня (8.5а)-(8.5б) численный алгоритм ее решения на каждой итерации i при известном доверительном отрезке [a_i-1,b_i-1]из предыдущей итерации (i -1) должен включать следующие действия:

1) расчет очередного приближения х_i,

2) проверка условияf(x_i)≤_f - если оно выполнено, то найдено приближенное значение корня x_пр, для которого выполнено условие окончания расчета (8.5б), выход из алгоритма, иначе (f(x_i)> _f) – продолжение расчетов;

3) сокращение доверительного отрезка, обозначим его [a_i,b_i], если b_i - a_i ≤ , то найден доверительный интервал требуемой длины  (выполнено условие окончания расчета (8.5а)), вычисления завершаем; иначе (b_i - a_i>) - переходим к новой итерации.

Основным требованием к итерационным методам решения уравнений является сходимость: предел последовательности получаемых значений неизвестного {x₁,x₂,x₃,...} должен существовать и быть равным искомому точному корню уравнения x*.

При наличии сходимости главным качественным показателем метода является скорость сходимости, которая определяется числом n вычислений функции f(x), необходимых для получения приближенного значения корня x_пр с заданной точностью  на исходном доверительном отрезке [a,b]. Таким образом, в общем случае n зависит от следующих факторов: 1) вида функции f(x), 2) длины доверительного отрезка (b - a), 3) точности решения , т.е. в общем случае:

n = n(f(x),(b - a),). (8.6)

Поскольку число необходимых расчетов функции f(x) возрастает с увеличением длины отрезка [a,b] и уменьшением точности , то вместо двух данных факторов можно рассмотреть их отношение М=(b - a)/, которое назовем масштабом задачи.

Наиболее распространенными методами уточнения корней на заданном доверительном отрезке являются следующие итерационные методы нулевого порядка, в которых используется только расчет значений целевой функции:

1) половинное деление,

2) метод хорд.