8.2.2. Метод локализации корней с использованием стационарных точек

Второй метод локализации корней на доверительных отрезках может быть реализован в том случае, когда у функции на заданной области (конечной или бесконечной) существует непрерывная первая производная f (x) и для нее может быть разрешено уравнение f (x) = 0 относительно х, такие точки называют стационарными. При этом прохождение через нуль может произойти только между крайними точками области определения функции и ее стационарными точками. Для каждой пары таких подряд стоящих точек достаточно проверить изменение знака функции. При этом, если крайняя точка области определения уходит в бесконечность и предел функции не существует, определяется знак бесконечности. Если изменение знака есть, то корень на данной части числовой оси есть, если нет – то корня не существует.

Пример 2. Найти с использованием второго метода (стационарных точек) доверительные отрезки для уравнения f(x) = x³ - 6х + 2 = 0 из примера 1.

Решение. Первая производная f (x) = 3x² – 6. Приравнивая ее нулю, получаем уравнение для стационарных точек функции: 3x² – 6 = 0. Оно имеет два решения: x₁ = -(2)^0,5 и x₂ = (2)^0,5. Функция рассматривается на всей числовой оси. Следовательно, для определения доверительных отрезков рассматриваем следующие упорядоченные по возрастанию значения аргумента: (-),(-(2)^0,5), ((2)^0,5),(+). Так как при х- f(x)-, f(-(2)^0,5) = -2(2)^0,5+ 6(2)^0,5 + 2 > 0; f((2)^0,5) = 2(2)^0,5 - 6(2)^0,5 + 2 < 0; при х+ f(x)+, то смена знака функции означает, что уравнение имеет 3 вещественных корня, для которых доверительными участками числовой оси являются: 1) (-,-(2)^0,5); 2) (-(2)^0,5,(2)^0,5); 3) ((2)^0,5, +).

Получаемые по второму методу доверительные участки числовой оси большого размера можно сократить, используя сканирование.

Одиночные начальные приближенные значения корней определяют, используя:

1) физический смысл задачи,

2) решения аналогичных задач,

3) графические методы решения,

4) учет специфики решаемого уравнения, его функции.

Например, если производится расчет текущего положения спутника, движущегося по околоземной орбите, то в качестве начального приближения принимают последнее известное его положение.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие этапы содержит алгоритм численного решения нелинейного уравнения ?

2. Какие используются два варианта локализации корней уравнений ?

3. Какие методы применяют для определения одиночных начальных приближенных значений корней ?

4. Сформулируйте теорему Больцано–Коши и ее следствие - теорему о нуле непрерывной функции.

5. Как и для чего выполняется сканирование с постоянным шагом ?

6. Какие возможны погрешности в определении доверительных отрезков в сканировании с постоянным шагом при использовании шага крупного размера ?

7. В чем заключается метод локализации корней с использованием стационарных точек ?

8. Как в методе локализации корней с использованием стационарных точек учитывается знак функции f(x) в исследуемой точке или на бесконечности (х- или х+), если в них значение f(x) стремится к бесконечности ?

Практическое задание.

1. Найти с использованием сканирования с постоянным шагом доверительные отрезки, содержащие корни уравнения f(x) = x⁴ - x³ - 20х + 25 = 0.

2. С использованием стационарных точек найти доверительные участки, содержащие корни уравнения f(x) = 3x⁴ - 8x³ - 90x² - 200 = 0.

3. С использованием стационарных точек найти доверительные участки, содержащие корни уравнения f(x) = 2sinx - x = 0.