IV. Действительные числа
Во второй половине XIX века потребность построения теории действительных чисел была настолько велика, что она была одновременно построена Кантором, Дедекиндом и Вейерштрассом. Нами будет рассмотрена эта теория по Кантору.
Рассмотрим теперь вопрос измерения отрезков. Установить систему измерения отрезков – значит каждому отрезку a поставить в соответствие некоторое число l (a), называемое длинной этого отрезка, причем должны выполняться следующие свойства:
-
Некоторый, наперед заданный отрезок e имеет длину 1, т.е. l(e) = 1
-
a = b => l(a) = l(b)
3. a + b
= c => l(a)
+ l(b)
= l(c),
ø
Отрезок a соизмерим с отрезком e, если его длина является рациональным числом. Если отрезок не соизмерим с единичным, то его длина не может быть рациональным числом, следовательно, для установления системы измерения отрезков необходимы новые числа, не содержащиеся среди рациональных.
Пусть дан некоторый отрезок [AB]
(соизмеримый или несоизмеримый с эталоном
длины e). Разделим
отрезок e на k
частей, где k > 1 –
некоторое натуральное число, и будем
откладывать отрезок
по [AB] от точки A.
По аксиоме Архимеда всегда найдется целое неотрицательное число p1 такое, что будет выполняться неравенство:
- приближенное значение по недостатку
с точностью
,
а число
- приближенное значение по избытку.
Если вместо k выбрать число k2, то получим
Продолжая этот процесс для чисел k3, k4, … kn получим две последовательности рациональных чисел:
;
;
…
;
…
;
;
…
;
…
При измерении любого отрезка всегда можно прийти к некоторой последовательности рациональных чисел, конечной или бесконечной.
Фундаментальные последовательности и их свойства.
Пусть дана последовательность элементов некоторого расположенного поля P
u1, u2, … , un, …
Определение. Элемент a
поля P называется
пределом последовательности {un},
если для любого элемента
,
поля P найдется такое
натуральное число
,
что для всех
будет выполняться неравенство:
Если последовательность {un} имеет предел a, то говорят, что она сходится к a.
Если последовательность {un} не имеет предел, то она называется расходящейся.
Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет один, и только один, предел.
Доказательство.
Пусть
Будем считать, что a > b
=>
Выберем
,
тогда
Получили противоречие a – b < a – b
Ч.т.д.
Определение. Последовательность
{un}
элементов упорядоченного поля P
называется фундаментальной, если
для любого элемента
из P существует
натуральное число
,
что из
при любом натуральном числе p
будет следовать неравенство:
Для того чтобы последовательность {un} была сходящейся в поле P, необходимо, чтобы она была фундаментальной.
Свойства фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Т1. Всякая фундаментальная
последовательность рациональных чисел
{un}
ограничена, т.е. существует такое
положительное число M,
что выполняется неравенство
при
любом n.
Доказательство.
Фиксируем такое натуральное число n0,
чтобы неравенство
выполняется для всех m
> n0. Это сделать
можно, т.к. последовательность {un}
фундаментальная. При всех
будет выполняться неравенство
,
т.к.
Это того, что n0 фиксировано, следует, что последовательность
будет состоять лишь из конечного числа n0+1 членов, поэтому найдется такое положительное рациональное число M, что оно будет больше любого члена этой последовательности, т.е.
M > max{
}
Следовательно
при
любом m.
Ч.т.д.
Для различных последовательностей и
числа M будут различны,
но если последовательностей будет
конечное число, то всегда можно найти
число M настолько
большое, что неравенство
будет
выполняться для любой из данных
последовательностей.
Определение. Суммой, разностью и произведением двух фундаментальных последовательностей {un} и {vn} называются соответственно последовательности:
{un + vn}, {un - vn}, {unvn}
Т2. Сумма, разность и произведение фундаментальных последовательностей являются снова фундаментальными последовательностями.
Доказательство.
Пусть {un}
и {vn}
– две такие последовательности и задано
положительное рациональное число ε.
Выберем число Nεтакое,
чтобы выполнялись неравенства
и
при всех n > Nε
и любом
.
Для суммы и разности имеем:
Т.к. последовательности {un} и {vn} ограничены, то для них найдется такое положительное число M, что будут выполняться неравенства
и
при всех n.
Т.к. эти последовательности обе фундаментальные, то для любого ε > 0 найдется натуральное Ne такое, что при всех n > Ne будут выполняться неравенства:
и
Откуда для произведения этих последовательностей получим:
При всех n > Nε
Ч.т.д.
Следствие. Для сложения и умножения фундаментальных последовательностей рациональных чисел справедливы законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, т.к. оба эти действия сводятся к сложению и умножению рациональных чисел, для которых эти законы справедливы.
Определение. Последовательность рациональных чисел, сходящаяся к нулю, называется нулевой последовательностью.
Т3. Сумма и разность нулевых последовательностей снова будет нулевыми последовательностями. Произведение любой фундаментальной последовательности {vn} на нулевую последовательность будет нулевой последовательностью.
Доказательство.
Сходимость к нулю последовательности
{un}
означает, что для любого рационального
числа ε > 0 найдется такое Nε
, что будет выполняться неравенство
при всех n > Nε
-
Пусть {un} и {vn} – нулевые последовательности.
Методом полной математической индукции это свойство распространяется на любую конечную алгебраическую суму нулевых последовательностей.
-
Т.к. {vn} ограничена, то существует такое рациональное число M > 0, что |vn| > M для всех n.
т.к.
{un}
– нулевая последовательность
Следовательно
Ч.т.д.
Определение. Фундаментальная последовательность рациональных чисел {un} называется положительной последовательностью, если для нее существует рациональное число k > 0 и натуральное число N такие, что будет выполняться неравенство un > k при всех n > N.
Т4. Сумма и произведение положительных последовательностей снова положительны.
Доказательство.
Пусть un
> k > 0
vn
> k > 0
Выберем
,
то для всех n > n0
будут выполняться равенства
un + vn > k + l > 0 unvn > kl > 0
Определение. Если последовательность {un} положительна, то последовательность {vn} = {-un} называется отрицательной последовательностью.
Т5. Сумма отрицательных последовательностей отрицательна, произведение – положительно. Произведение положительной и отрицательной последовательностей – отрицательно.
Т6. Если ни {un}, ни {-un} не положительные, то фундаментальная последовательность {un} будет нулевой последовательностью.
Доказательство.
Из условия теоремы следует, что для любого ε > 0 и натурального числа n0 всегда найдутся такие n1 > n0 и n2 > n0, что
и 
т.к. если бы для любого n1
> n0 выполняется
неравенство
,
то {un}
была бы положительной. Если же для любого
n2 > n0
было бы
,
то {un}
была бы отрицательной. Оба эти противоречия
противоречат условию.
Т.к. {un} и {-un} – фундаментальные последовательности, выберем число n0 настолько большим, что при n1 > n0 и n2 > n0 выполнялись неравенства:
, 
, 
, 
Тогда для всех n > n0 имеем
и
Из этих неравенств следует неравенство
т.к. ε > 0 произвольно, то из
следует, что {un}
– нулевая последовательность.
Следствие. Для любой фундаментальной последовательности рациональных чисел имеет место одно и только одно из трех свойств: либо {un} – нулевая, либо {un} – положительная, либо {un} – отрицательна.
Т7. Если {un}
и {vn}
– две фундаментальные последовательности
рациональных чисел, причем {vn}
не нулевая последовательность и не
имеет равных нулю, членов, то частное
этих
последовательностей также будет
фундаментальной последовательностью.
Определение. Две фундаментальные последовательности рациональных чисел {un} и {vn} называются эквивалентными, если их разность {un - vn} является нулевой последовательностью.
Т8. Отношение эквивалентности последовательностей рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Доказательство.
-
{un} ~ {un} следует из |un - un| = 0 < ε
-
{un} ~ {vn} => {vn} ~ {un} следует из определения
-
{un} ~ {vn}
{vn}
~ {wn}
=> {un}
~ {wn}
{un - wn} нулевая => {un} ~ {wn}
Т9. Любые две нулевые последовательности эквивалентны. Если одна из эквивалентных последовательностей положительна, то и другая последовательность положительна; если одна из эквивалентных последовательностей отрицательна, то и другая отрицательна.
Т10. Если в фундаментальной последовательности {un} отбросить конечное число ее первых членов, то оставшееся последовательность будет эквивалентна первоначальной последовательности.
Т11. Если одна из эквивалентных последовательностей {un} и {vn} имеет предел r, то и другая последовательность имеет тот же предел.
Доказательство.
Пусть
и
,
тогда
будем иметь
т.е.
lim vn = lim un = r
Т12. Если при сложении, вычитании, умножении и делении фундаментальных последовательностей рациональных чисел компоненты заменить последовательностями, им эквивалентными, то и результаты соответственно заменятся результатами, эквивалентными первоначальным результатам.
Свойства фундаментальных последовательностей рациональных чисел, принадлежащих одному и тому же классу.
-
Если в классе содержится нулевая последовательность, то и все последовательности этого класса нулевые. Такой класс будем называть нулевым классом.
-
Если в классе содержится положительная (отрицательная) последовательность, то и все последовательности этого класса положительные (отрицательные). Такой класс будем называть положительным (отрицательным).
-
Если в классе содержится последовательность, имеющая предел r, то и любая последовательность этого же класса имеет тот же предел r.
-
Два класса, которым принадлежат последовательности {un} и {vn}, тогда, и только тогда, равны (совпадают), когда {un} ~ {vn}.
Система аксиом, определяющих поле действительных чисел.
Определение. Полем действительных чисел называется любое множество R, содержащей по меньшей мере два различных элемента, в котором установлено свойство элементов быть положительными ( > 0) и определены две алгебраические операции – сложение и умножение, причем выполняются следующие одиннадцать аксиом:
А1:
А2:
А3:
А4:
А5:
А6:
А7:
А8:
А9:
a > b a – b > 0
А10: (Аксиома Архимеда)
А11: Любая фундаментальная последовательность{an} элементов из R имеет предел в R.
Если –a > 0, то a называется отрицательным элементом поля R. Из этого определения следует, что
-
А1 – А7 определяют любое поле
-
А1 – А9 определяют расположенное поле
-
А1 – А10 определяют архимедовски расположенное поле
-
А1 – А11 определяет поле, которое называется непрерывным полем.
Интерпретация системы аксиом поля действительных чисел.
Определение. Действительным числом называется любой класс попарно эквивалентных последовательностей рациональных чисел, причем нулевой класс называется нулем, положительный класс – положительным действительным числом, отрицательный класс – отрицательным действительным числом.
Множество всех действительных чисел
обозначим
,
а сами действительные числа
{un}
означает, {un}
является представителем действительного
числа
или {un}
принадлежит числу
.
Число
полностью определяется любым своим
представителем.
тогда, и только тогда, когда {un}
~ {vn}
.
Определение. Суммой и произведением
действительных чисел
и
называются действительные числа
и
,
которые которым принадлежат соответственно
сумма и произведение любых представителей,
взятые по одному из класса
и
.
{un}
,
{vn}
,
{un
+ vn}
,
{unvn}
+
=
,
=
Сумма и произведение являются бинарными операциями и не зависят от выбора представителей классов в силу Т12.
Т1. В множестве
выполняются аксиомы 1 – 9, т.е.
является расположенным полем.
Доказательство.
Выполнение аксиом 1, 2, 4, 5, 6 непосредственно следует из справедливости этих же свойств для последовательностей рациональных чисел.
Если {un}
и {vn}
,
то решение уравнений
+ x =
и
x
=
однозначно определяется последовательностями
{un
- vn}
-
и
Этим доказано выполнение аксиом 1 – 7 в
.
Т.к. любая фундаментальная последовательность
либо положительна, либо нулевая, либо
отрицательная, то это же имеет место и
для действительного числа
,
которому принадлежит эта последовательность.
Следовательно, в
выполняется А8.
Выполнение А9 следует из того, что сумма и произведение положительных последовательностей положительны.
Правила знаков при умножении и делении
действительных чисел следует из
определения коммутативного кольца. Эти
же правила следуют и из непосредственного
рассмотрения представителей чисел
и
.
Абсолютная величина действительного
числа
определяется также, как и для элементов
расположенного поля.
Т2. Если
- действительное число и {Un}
,
то из
следует
при всех достаточно больших значениях
n > n1
;
из
при
всех достаточно больших n
> n2 следует
,
где M – некоторое
рациональное число.
Следствие. Если
Т3. В поле
выполняется аксиома Архимеда, т.е. для
любых действительных чисел
и
> 0 найдется такое натуральное число
n, что будет
выполняться неравенство n
>
Доказательство.
Пусть {un}
и {vn}
.
Из ограниченности последовательности
{un}
имеем un
< M, где M
– некоторое положительное число.
По Т2 получаем
.
Из
> 0 следует, что при всех достаточно
больших значениях n
будет выполняться неравенство vn
> k > 0, а по Т2
.
Из последнего неравенства
Для рациональных чисел M
и K аксиома Архимеда
выполняется. Выберем n
так чтобы выполнялось неравенство nk
> M, тогда
.
Теорема. Последовательность
рациональных чисел {un}
тогда, и только тогда, принадлежит
действительному числу
,
когда для любого действительного числа
найдется такое натуральное число
,
что при всех
будет выполняться неравенство
.
Доказательство.
Если {un}
,
то последовательность фундаментальная,
поэтому
Фиксируем некоторое n >
образуем последовательность
{um - un}:
u1 - un, u2 - un, …, 0, un+1 - un, …, um - un, …
Эта последовательность фундаментальная, т.к. она представляет собой разность фундаментальной последовательности {um}, по условию, и последовательности {un}, все члены которой равны между собой, по выбору числа n.
Все члены последовательности {um
- un}
при
будут удовлетворять неравенству
Следовательно, и определяемое этой
последовательностью действительное
число
.
Обратно, если
,
то при всех m >
т.е. последовательность {un} фундаментальная.
Пусть {un}
,
тогда
Из последнего неравенства получаем
=
,
т.е. {un}
.
Из этой теоремы следует, что число
,
которому принадлежит {un},
и будет пределом этой последовательности,
т.е.
lim un
=
Следствие. Для того чтобы
последовательность рациональных чисел
имела предел в поле действительных
чисел
,
необходимо и достаточно, чтобы эта
последовательность была фундаментальной.
Таким образом А11 для последовательностей рациональных чисел выполнена.
Поле действительных чисел как расширение поля рациональных чисел.
Построенное поле действительных чисел
не содержит в себе в явном виде поле
рациональных чисел Q,
но
содержит подполе
.
Для построения поля R,
являющегося расширением поля Q,
выделим сначала в поле
подполе
.
Пусть r
.
Последовательность {r}
является фундаментальной, поэтому она
однозначно определяет класс
.
Если числа r и s
различные, то {r} и {s}
принадлежат различным классам
и
,
т.к. {r - s}не
является нулевой. Этим установлено
взаимнооднозначное соответствие между
множествами Q и
всех тех, и только тех, классов множества
,
каждый из которых содержит последовательность
вида {r}. Это соответствие
будет изоморфным относительно сложения,
умножения и свойства быть положительным,
установленных в множествах Q
и
.
,
где
,
следовательно существует поле R
содержащее поле Q в
качестве подполя, причем
.
Построение поля R
можно выполнить заменой всех классов
множества
соответствующими им рациональными
числами, оставляя все остальные классы
на месте.
Определение. Класс
попарно
эквивалентных фундаментальных
последовательностей рациональных
чисел, содержащие последовательность
{r}, называется
рациональным числом, равным числу
r. Всякий класс
таких же последовательностей, который
не содержит последовательностей вида
{r}, называется
иррациональным числом.
Рациональные и иррациональные числа называются действительными. Это множество обозначают R.
Свойства действительных чисел.
Для всякого десятичного числа существует его десятичное разложение.
Определение. Систематической дробью с основанием q называется сумма вида
где
,
,
,
Обозначение
Если
,
то дробь называется конечной. В противном
случае бесконечной. Десятичная дробь
является частным случаем систематической
дроби при q = 10.
Теорема.
Следствие.
Числа
и
называются приближенными значениями
числа
.
Давая “K” значения
1, q, q2,…,
получим две последовательности
и
Эти последовательности обладают свойством:
Эти последовательности сходятся в поле R и имеют общий предел.
Рассмотрим последовательность
при q = 10.
- десятичное разложение числа
.
Каждому десятичному числу ставится в соответствие единственное десятичное разложение, и обратно.
Лекция 8.