II. Целые числа

Построение кольца классов пар натуральных чисел.

N не является кольцом, т.к. в нем уравнение b + x = a не всегда разрешимо. Если a > b, то уравнение b + x = a имеет единственное решение x = a – b, определяемое парой (a, b). Если же , то уравнение не имеет в N решений.

Предположим, что существует кольцо Z, являющееся расширением N.

Т.к. Z – кольцо, то уравнение b + x = a должно иметь всегда единственное решение x = a – b (если a > b, то x – натуральное число, если , то и ).

Т.к. в любом кольце уравнение b + x = a имеет единственное решение, то и в кольце Z элемент x должен определяться парой натуральных чисел (a,b) однозначно.

Пусть уравнения b + x = a и d + y = c имеют равные решения x = y. Предположим, что в данные уравнения подставлены их решения, прибавим к обеим частям первого равенства d, а к обеим частям второго b.

Если две пары (a, b)и(c, d) определяют один и тот же элемент кольца Z, то должно выполняться равенство:

a + d = b + c (1)

Если элементы x и y определяются парами (a, b) и (c, d), то их сумма должна определяться парой:

(a + c; b + d) (2)

b + x = a

+

d + y = c

(b + d) + (x + y) = a + c

Установим какой парой будет определяться произведение x и y.

b + x = a d + y = c

bd + dx + by + xy = ac

Прибавим к обеим частям bd.

bd + dx + bd + by + xy = ac + bd

d(b + x) + b(d + y) + xy = ac +bd

(ad + bc) + xy = ac + bd

xy определяется парой (ac + bd; ad + bc) (3)

Итак, если существует кольцо Z, являющееся расширением множества N, элементы которого однозначно определяются парами (a, b) натуральных чисел, то равенство, сумма и произведение элементов кольца Z должны определяться условиями (1), (2), (3).

Определение. Кольцом целых чисел называется минимальное кольцо, являющееся расширением алгебры натуральных чисел. Это кольцо будем обозначать Z, а его элементы будем называть целыми числами.

Из этого определения не следует, что кольцо Z существует.

Построим кольцо , являющееся расширением множества , изоморфного множеству всех натуральных чисел N. Это кольцо будет изоморфно искомому кольцу Z.

Рассмотрим множество M всевозможных пар натуральных чисел (a, b), при этом пары (a, b) и (b, a) будем, вообще говоря, считать различными. Определим в этом множестве M отношение эквивалентности, сложение и умножение, и исследуем их свойства.

Определение. Две пары натуральных чисел называются эквивалентными тогда, и только тогда, когда a + d = b + c

Следствие. (a, b) ~ (a + k, b + k)

a + b + k = b + a + k

Определение. Суммой двух пар натуральных чисел (a, b) и (c, d) называется пара (a + c, b + d)

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Следствие. Если в сумме (a, b) + (c, d) одно или оба слагаемых заменить парами, им эквивалентными, то результат будет эквивалентен первоначальному результату.

Доказательство.

(a, b) ~ (a’, b’) => a + b’ = a’ + b (a’, b’) + (c’, d’) = (a’ + c’, b’ + d’)

(c, d) ~ (c’, d’) => c + d’ = c’ +d

a + c + b’ + d’ = a’ + c’ + b + d => (a + c; b + d) ~ (a’ + c’; b’ +d’), т.е.

(a, b) + (c, d) ~ (a’, b’) + (c’, d’)

Определение. Произведением двух пар натуральных чисел (a, b) и (c, d) называется пара (ac + bd; ad + bc) т.е.

(a, b)(c, d) = (ac + bd; ad + bc)

Следствие. Если в произведении (a, b)(c, d) один или оба сомножителя заменить парами, им эквивалентными, то результат будет эквивалентен первоначальному результату.

Доказательство.

(a, b) ~ (a’, b’) => a + b’ = a’ + b

(a’, b’)(c, d) = (a’c + b’d; a’d + b’c)

ac + bd + a’d + b’c = (a + b’)c + (b + a’)d = (a’ + b)c + (a + b’)d = a’c + bc + ad + b’d => (ac + bd; ad + bc) ~ (a’c + b’d; a’d + b’c), т.е. (a, b)(c, d) = (a’, b’)(c, d)

Отношение эквивалентности определяет разбиение множества M всех пар натуральных чисел (a, b) на классы попарно эквивалентных элементов. Класс, которому принадлежит пара (a, b) обозначим через K(a). Множество всех таких классов будем обозначать через . Покажем, что есть коммутативное кольцо.

K(a,b) = K(c,d)  (a,b) ~ (c,d)

Определение. Суммой двух классов из называется тот класс, которому принадлежит сумма каких-нибудь двух пар из слагаемых классов.

Определение. Произведением двух классов из называется тот класс, которому принадлежит произведение каких-нибудь представителей перемножаемых классов.

Во множестве выполняются аксиомы коммутативного кольца.

1.

2.

3. Решением уравнения является т.к.

(c, d) + (a + d, b + c) = (a + c + d, b + c + d) ~ (a, b)

Из аксиом 1-3 следует, что является коммутативной группой по сложению. Поэтому для него будут справедливы все следствия, вытекающие из определения группы:

1. Нулем в этом множестве будет класс K(c,c)

т.к. (a,b) + (c,c) = (a + c,b + c) ~ (a,b)

2. Элемент, противоположный классу K(a,b) будет класс K(b,a), т.к.

(a, b) + (b,a) = (a + b, a + b) ~ (a,b)

4. Из (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b) => K(a, b) K(c, d) = K(c, d) K(a, b)

5.

6.

Доказательство.

(a,b)(c + m,d + n) = (ac + am + bd + bn;ad + an + bc + bm)

(ac + bd;ad + bc) + (am + bn;an + bm) = (ac + bd + am + bn;ad + bc + an + bm)

Таким образом, множество является коммутативным кольцом.

Сравнение классов пар натуральных чисел по величине.

Как было показано

Определение. Пара натуральных чисел (a, b) называется нулевой парой, если a = b, положительной парой, если a > b, отрицательной парой, если a < b.

Определение. Класс K(a, b) называется нулевым, если все его представители нулевые пары; положительным, если все его представители положительны; отрицательным, если все его представители отрицательны.

Теорема. Для любого класса K(a, b) имеет место одно, и только одно, из трех свойств: K(a, b) либо нулевой класс, либо положительный, либо отрицательный.

1. , тогда (c, d) ~ (a, a) => c + a = d + a => c = d, т.е. все представители класса K(a,a) являются нулевыми парами. Это нулевой класс.

2. Если a > b и , т.е. a = b + k и a + d = b + c, то b + k + d = b + c; d + k = c => c > d K(a,b) – положительный класс.

3. a < b, то K(a,b) в силу пунктов 1 и 2 этого доказательства не может содержать нулевые и положительные пары. Класс K(a,b) – отрицательный.

Следствие. Две положительные пары натуральных чисел (a, b) и (c, d) тогда, и только тогда, принадлежат одному классу, когда a – b = c – d

Теорема. Сумма и произведение положительных классов из положительны.

Доказательство.

Пусть K(a,b) и K(c,d) – положительные классы, т.е.

a > b a = b + k

c > d c = d + m

a + c > b + d, т.е. (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d) является положительной парой, следовательно K(a,b) + K(c,d) = K(a + c,b + d) положительна.

(a, b) (c, d) = (ac + bd,ad + bc)

K(ac + bd,ad + bc) – положительный класс.

Решение уравнения K(c,d) + K(x,y) = K(a,b) называется разностью классов K(a,b) и K(c,d)

K(x,y) = K(a,b) - K(c,d) = K(a+d,b+c)

K(a,b) > K(c,d) тогда, и только тогда, когда разность этих классов положительна. - расположенное поле.

Абсолютная величина класса K(a,b) определяется так же, как для элементов расположенного кольца.

Построение кольца целых чисел.

По определению, кольцом целых чисел названо минимальное кольцо, являющееся расширением алгебры натуральных чисел N. Построим это кольцо.

Рассмотрим множество всех положительных классов пар натуральных чисел. Каждый такой класс определяет некоторое натуральное число a – b = k и обратно, каждое натуральное число m однозначно определяет класс K(d+m,d), где d – любое натуральное число. Этим установлено взаимнооднозначное соответствие между элементами множеств и N. относительно сложения, умножения и отношения “больше”, установленных в этих множествах.

,

K(a,b) + K(c,d) = K(a + c,b + d)

(a + c) – (b + d) = k + m

K(a,b) K(c,d) = K(ac + bd,ad + bc)

(ac + bd) – (ad + bc) = km

K(a,b) > K(c,d) K(a,b) - K(c,d) = K(a + d,b + c)

a + d = b + k +d > b + d + m = b + c, т.е. k > m

Искомое кольцо Z строим следующим образом: каждый положительный класс K(a,b) заменим натуральным числом a – b = k, каждый отрицательный класс и нулевой класс оставим без изменения.

Т.к. классы K(a,b) и K(b,a) противоположны, т.е. K(b,a) = - K(a,b), то для K(b,a) введем обозначение –k. Для нулевого класса K(a,a) вводим обозначение 0.

Кольцо Z является минимальным, т.к. всякое кольцо, являющееся расширением множества N, обязано содержать вместе со всеми натуральными числами и число нуль и все числа, противоположные натуральным, т.е. обязано содержать в себе кольцо Z в качестве подкольца.

Натуральные числа кольца Z называются целыми положительными, а числа им противоположные, целыми отрицательными.

Все правила действия в кольце Z вытекают из правил соответствующих действий в кольце .

Лекция 6.