§ 14. Асимптоты кривой

1. Пусть кривая (L) является графиком функции , (может быть также или , где и — конечные числа). Пусть и — некоторые фиксированные прямые.

Определение (см. рис. 4.31).

I. Прямая называется асимптотой кривой (L) при , если

. (1)

II. Прямая называется асимптотой кривой (L) при , если

. (2)

рис. 4.31.

Теорема 1. Для того, чтобы график функции имел при асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали одновременно следующие два конечных предела:

и . (3)

► Необходимость. Пусть график функции имеет при асимптоту . Но тогда, по определению, имеем (1):

.

Разделим соотношение (1) на , получим

и, следовательно,

.

Достаточность. Пусть существуют одновременно конечные пределы (3). Но тогда из равенства следует, что

.

А это означает, что у графика функции при имеется асимптота . ◄

Совершенно аналогично доказывается

Теорема 2. Для того, чтобы график функции имел при асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали одновременно следующие два конечных предела:

и .

Замечание. 1) Если или оказываются равными нулю, то соответствующая асимптота называется горизонтальной.

2) Если или оказываются отличными от нуля, то соответствующая асимптота называется наклонной.

2. Пусть кривая (L) является графиком функции . Пусть х₀ — конечное число.

Определение. Прямая х = х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции , если имеет место хотя бы одно из следующих трех соотношений:

.

На рис. 4.32 представлены некоторые из возможных схем графика функции , когда прямая х = х₀ является вертикальной асимптотой этого графика.

Рис. 4.32.

Пример. Пусть . Эта функция определена на всей оси за исключением точки х = 0. Имеем

.

Вывод: прямая х = 0 является вертикальной асимптотой графика заданной функции. Имеем, далее,

.

Вывод: прямая является наклонной асимптотой графика заданной функции при .

Имее, также

.

Вывод: прямая является наклонной асимптотой графика заданной функции при .

На рис. 4.33 представлена схема графика функции

Рис. 4.33.

§ 15. Построение графика функции по характерным точкам

Изучение заданной функции и построение ее графика следует проводить в следующем порядке.

1. Определить область существования функции, область непрерывности и точки разрыва.

2. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных).

3. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.

4. Найти области сохранения направления выпуклости графика функции и точки перегиба.

5. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

По полученным данным легко строится эскиз графика функции. Важно помнить при этом, что график функции не может доставлять точные числовые значения (это делает формула, задающая функцию). График же дает представление о качественной стороне поведения функции.

В качестве примера построим график функции

. (1)

Будем следовать изложенной выше схеме.

1. Так как функция (1) дробно-рациональная, то она определена и непрерывна на промежутке всюду, за исключением точки , в которой знаменатель обращается в нуль.

2. Выясним вопрос о существовании асимптот. Имеем

,

,

Вывод. График функции (1) имеет вертикальную асимптоту

. (2)

Имеем, далее,

;

.

Вывод. График функции (1) имеет наклонную асимптоту

. (3)

как при , так и при .

3. Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции (1) и точек экстремума вычисляем первую производную функции (1)

Следовательно, в точках: . (Эти точки подозрительны на гладкий экстремум.) Во всех остальных точках области существования функции (1): существует конечная, отличная от нуля производная . Так как функция (1) терпит разрыв точке , то к числу критических точек функции, разбивающих область существования функции на интервалы, в которых производная сохраняет знак, следует присоединить точку разрыва.

Таким образом, мы получаем следующие интервалы сохранения знака производной .

Интервалы значений
Знак	+	–	+	–	+
Поведение функции	возрастает	убывает	возрастает	убывает	возрастает

При переходе через точку производная меняет знак с «+»на «–». Значит, в точке функция имеет строгий максимум;

.

При переходе через точку производная меняет знак с «+»на «–». Значит, в точке функция имеет строгий максимум;

.

При переходе через точку производная меняет знак с «–»на «+». Значит, в точке функция имеет строгий минимум;

.

4. Для нахождения промежутков сохранения направления выпуклости графика функции и точек перегиба вычисляем вторую производную функции (1)

.

Следовательно, в точке: . (эта точка подозрительна на перегиб). Во всех остальных точках области существования функции (1) существует конечная, отличная от нуля вторая производная . Так как функция (1) терпит разрыв в точке , то к числу точек, подозрительных на перегиб, разбивающих область существования функции на интервалы, в которых вторая производная сохраняет знак, следует присоединить точку разрыва.

В результате мы получим следующие интервалы сохранения знака второй производной .

Интервалы значений
Знак	–	–	+
Направление выпуклости графика	вверх	вверх	вниз

При переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+». Значит, в точке график функции имеет перегиб .

5. Найдем точки пересечения графика функции (1) с осью Ох (с осью Оу пересечения нет, ибо ). Эти точки соответствуют вещественным корням уравнения

.

Рис. 4.34.

Имеем, . Так как квадратный трехчлен имеет комплексные корни, то обсуждаемое уравнение имеет только один вещественный корень . Следовательно, график функции (1) пересекает ось Ох в точке . На рис. 4.34 представлена схема графика функции: .

258