- •Глава 4 Производная и дифференциал § 1. Производная. Механический и геометрический смысл производной
- •4. Односторонние производные.
- •§2. Понятие дифференцируемости функции
- •§ 3. Формулы и правила вычисления производных
- •7. Простейшие правила вычисления производных.
- •12. Формула для приращения функции.
- •13. Правило дифференцирования сложной функции.
- •14. Правила дифференцирования обратных функций.
- •§ 4. Дифференциал функции
- •2. Геометрический смысл дифференциала.
- •3. Сводка формул для дифференциалов.
- •4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.
- •§ 5. Производные высших порядков
- •2. Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.
- •3. Механическое истолкование второй производной.
- •§ 6. Дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§ 9. Формула Тейлора
- •2. Примеры разложения по формуле Тейлора.
- •§ 10. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •1. Неопределенность вида .
- •2. Неопределенность вида .
- •§ 11. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций
- •§ 12. Теория экстремальных значений функции
- •2. Исследование стационарных критических точек функции с помощью второй производной.
- •§ 13. Характер выпуклости кривой. Точки перегиба
- •§ 14. Асимптоты кривой
- •§ 15. Построение графика функции по характерным точкам
§ 12. Теория экстремальных значений функции
1. Определение. Пусть функция определена в некотором промежутке X пусть точка х0 есть внутренняя точка промежутка X.
I. Если существует -окрестность точки х0 такая, что и что для всех оказывается
,
то говорят, что функция имеет в точке х0 максимум. Если при этом для всех оказывается
,
то говорят, что функция имеет в точке х0 строгий максимум.
II. Если существует -окрестность точки х0 такая, что и что для всех оказывается
,
то говорят, что функция имеет в точке х0 минимум. Если при этом для всех оказывается
,
то говорят, что функция имеет в точке х0 строгий минимум.
Из этих определений следует, что понятия «максимум» и «минимум» имеют локальный характер. У функции в промежутке X может быть несколько максимумов и минимумов.
Не следует, поэтому путать понятия максимума и минимума функции с понятиями наибольшего и наименьшего значения этой функции на всем промежутке X.
Вместо отдельных наименований «максимум» и «минимум» употребляют объединяющее их наименование — «экстремум».
Теорема 1. Пусть функция определена в промежутке X и во внутренней точке имеет экстремум. Тогда, если у функции в точке х0 существует конечная производная , то обязательно .
► Пусть для определенности функция имеет в точке х0 максимум. Но тогда существует -окрестность точки х0 такая, что и для всех :
, (1)
Дадим х0 приращение — любое, но такое, что и точка . В силу соотношения (1) ясно, что .
.
Если , то , т. е.
. (*)
Если , то , т. е.
. (**)
По условию функция в точке х0 имеет конечную производную . Но тогда должно быть: . Совместное же осуществление соотношений (*) и (**) возможно лишь тогда, когда .
Случай, когда функция имеет в точке х0 минимум, рассматривается совершенно аналогично. ◄
Из теоремы 1 вытекает важное следствие: точки, в которых функция имеет экстремум, следует искать среди точек, в которых либо , либо , либо не существует. Все эти три случая реализуются для функций: 1) , 2) , 3) (см. рис. 4.14, 4.15, 4.16).
|
|
|
Рис. 4.14. |
Рис. 4.15. |
Рис. 4.16. |
Каждая из этих трех функций в точке имеет минимум.
Те точки, в которых , а также те точки, в которых производная бесконечна или не существует, но сама функция непрерывна, называются критическими точками функции . Те точки, в которых , будем называть подозрительными на гладкий экстремум, а точки, в которых бесконечна или не существует, — подозрительными на острый экстремум.
Отметим, что не в каждой критической точке функция обязательно имеет экстремум. Так, например, точка является критической для каждой из функций: 1) , 2) , 3) . Однако ни одна из этих функций в точке не имеет экстремума (см. рис. 4.17, 4.18, 4.19).
|
|
|
Рис. 4.17. |
Рис. 4.18. |
Рис. 4.19. |
Следовательно, для решения задачи нахождения экстремумов функции требуется найти признаки, которые позволяли бы судить, имеется ли в данной критической точке экстремум функции или нет; а если имеется, то максимум это или минимум.
Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке X. Пусть точка х0 — внутренняя точка промежутка X. Пусть точка х0 — критическая точка функции . Пусть в некоторой проколотой -окрестности точки х0 функция имеет конечную производную , причем сохраняет знак как в , так и в (в каждой полуокрестности сохраняет свой знак). Тогда:
-
если для производная , а для производная , т. е. если при переходе через точку х0 производная меняет знак с "+" на "–", то функция имеет в точке х0 строгий максимум;
-
если для производная , а для производная , т. е. если при переходе через точку х0 производная меняет знак с "–" на "+", то функция имеет в точке х0 строгий минимум;
-
если при переходе через точку х0 производная знака не меняет, т. е. либо как для , так и для либо как для , так и для , то функция в точке х0 не имеет экстремума.
► Возьмем в любую точку х. Заметим, что: 1) функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке ; 2) имеет конечную производную в промежутке . Видим, что выполнены условия теоремы Лагранжа. Поэтому имеем
. (*)
Рассмотрим случай 1): для , для . Имеем: если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т. е. для . Имеем, далее, если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т. е. для . Получили, таким образом, что для всех . А это означает, что функция имеет в точке х0 строгий максимум.
Рассмотрим случай 2): для , для . Имеем: если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т. е. для . Имеем, далее, если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т. е. для . Получили, таким образом, что для всех . А это означает, что функция имеет в точке х0 строгий минимум.
Рассмотрим случай 3): при переходе через точку х0 производная не меняет знак; пусть для определенности: для и для . Имеем: если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т.е. для . Значит, в точке х0 у функции нет максимума. Имеем, далее, если , то и точка . Значит, . Так как , то . А тогда из соотношения (*) следует, что , т. е. для . Это означает, что у функции в точке х0 нет минимума.
Общий вывод: у функции в точке х0 нет экстремума. Совершенно аналогично можно убедиться, что у функции в точке х0 нет экстремума, если как для , так и для . ◄
Замечание 1. Теорема 2 позволяет полностью решить вопрос об отыскании экстремумов функции , удовлетворяющей следующим условиям:
1) определена и непрерывна на промежутке ;
2) имеет в конечное число критических точек (считаем, что );
3) в каждом из промежутков: существует конечная непрерывная производная .
Практически исследование функции на экстремум происходит следующим образом.
1) Находят все критические точки функции и располагают их в порядке возрастания.
2) Каждое критическое значение аргумента испытывают на изменение знака производной . Для этого берут два значения аргумента и ( меньше, а больше исследуемого критического значения аргумента). При этом должно быть соблюдено условие, чтобы и были ближе к исследуемому критическому значению аргумента, чем ближайшие критические точки. Затем определяют знаки чисел и . Могут реализоваться следующие случаи:
|
|
|
+ |
– |
max |
– |
+ |
min |
+ |
+ |
нет экстремума |
– |
– |
нет экстремума |
Пример. Исследовать на экстремум функцию .
► Функция определена и непрерывна на промежутке . Имеем
.
Точки и — критические точки функции . Точка — подозрительна на острый экстремум, а точка — подозрительна на гладкий экстремум.
Испытываем точку . Пусть , . Имеем
; .
Вывод: в точке функция имеет строгий максимум (острый) .
Испытываем точку . Пусть , . Имеем
; .
Вывод: в точке функция имеет строгий минимум (гладкий) .
Имеем
;
.
На рис. 4.20 представлена схема графика функции .
|
Рис. 4.20. |
Замечание 2. Изложенный выше способ позволяет исследовать на экстремум функции, имеющие в промежутке конечное число разрывов, при условии, что в каждом промежутке между соседними точками разрывов функции , выполнены условия 1), 2), 3) замечания 1.
Пример. Исследовать на экстремум функцию .
► область существование функции : .
.
Точка — точка разрыва второго рода. Имеем
.
Видим, что в точках и . Во всех остальных точках области существования функции производная существует конечная. В каждом из промежутков и выполнены условия 1), 2), 3) замечания 1. Точки и подозрительны на гладкий экстремум.
Испытываем точку . Пусть , (важно, что ). Имеем
; .
Вывод: в точке функция имеет строгий максимум .
|
Рис. 4.21. |
Испытываем точку . Пусть (важно, что ), . Имеем
; .
Вывод: в точке функция имеет строгий минимум (гладкий) .
Имеем .
На рис. 4.21 представлена схема графика функции .