Интегрирование при бесконечных пределах
[править]
Методы Монте-Карло
[править]
Многомерный случай
В небольших размерностях можно так же применять квадратурные формулы, основанные на многочленах Лагранжа. Однако в больших размерностях эти методы становятся неприемлемыми из-за быстрого возрастания числа точек сетки и/или сложной границы области. В этом случае применяется метод Монте-Карло. Генерируются случайные точки в нашей области и усредняются значения функции в них. Так же можно использовать смешанный подход — разбить область на несколько частей, в каждой из которых (или только в тех, где интеграл посчитать не удаётся из-за сложной границы) применить метод Монте-Карло.
[править]
Литература
ISBN 5030033920 Д.Каханер, К.Моулер, С.Нэш. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 c.
Глава 6. Статистические расчеты на Mathcad
6.4. Применение метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов
Хотя Mathcad позволяет вычислять кратные интегралы непосредственно, однако в большинстве случаев при кратности интегралов 3 и более применение метода Монте-Карло предпочтительнее. Дело в том, при одинаковой точности метод Монте-Карло дает существенный выигрыш во времени (в десятки и сотни раз), особенно при большой кратности интегралов. Идея метода состоит в том, что интеграл заменяется величиной Fср.·V, где V – объем области интегрирования, Fср. –среднее значение подынтегральной функции, вычисленное по нескольким случайно выбранным точкам.
Определим подынтегральную функцию.
f(x,y)=xy
И вычислим интеграл обычным способом (обратите внимание на время счета!)
А теперь вычислит тот же интеграл методом Монте-Карло
N:=3000 i:=0..N-1
Поскольку в нашем случае объем области интегрирования равен 1, полученное среднее значение совпадает со значением интеграла. При относительной погрешности в 0.001% время вычисления интеграла по методу Монте-Карло существенно меньше.
Интеграл
можно вычислить и другим способом.
Заключим область интегрирования внутрь
прямоугольной области, "набросаем"
внутрь полученной области N случайных
точек. Тогда интеграл найдем из
соотношения
,где
N – общее число точек, n – число
точек, лежащих внутри области
интегрирования, V – объем области,
включающей область интегрирования.
Максимальное значение подынтегральной функции в области интегрирования не превосходит 125, следовательно, мы может заключить всю область интегрирования внутрь четырехмерного цилиндроида высотой 125 и объемом V=125. Сгенерируем N четверок случайных чисел и подсчитаем, сколько из них лежит под поверхностью f(x,y,z).
8. Метод Монте-Карло. Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. На основе таких подходов построен ряд численных методов, которые учитывают случайный характер вычисляемых или измеряемых величин. К ним принадлежит и метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло, который применяется к решению некоторых задач вычислительной математики, в том числе и для вычисления интегралов.
Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматривается некоторая случайная величина ξ, математическое ожидание которой равно искомой величине x:
Проводится серия п независимых испытаний, в результате которых получается (генерируется) последовательность п случайных чисел ξl, ξ2,..., ξn и по совокупности этих значений приближенно определяется искомая величина Пусть η – равномерно распределенная на отрезке [0, 1] случайная величина. Это означает, что ее плотность распределения задается соотношением
Тогда любая функция ξ = f(η) также будет случайной величиной, и ее математическое ожидание равно
Следовательно, читая это равенство в обратном порядке, приходим к выводу, что интеграл f(x)dx может быть вычислен как математическое ожидание некоторой случайной величины ξ, которая определяется независимыми реализациями ηi случайной величины η с равномерным законом распределения:
Аналогично могут быть вычислены и кратные интегралы. Для двойного интеграла получим
где G: (0≤x≤l, 0≤y≤l; ηi, ζi – независимые реализации случайных величин η, ζ, равномерно распределенных на отрезке [0, 1].
Для использования метода Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, как и в других его приложениях, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. Существуют различные способы генерирования таких чисел.
Можно построить некоторый физический процесс (генератор) для выработки случайных величин, однако при использовании ЭВМ этот способ непригоден, поскольку трудно дважды получить одинаковые совокупности случайных чисел, которые необходимы при отладке программ.
Известны многие таблицы случайных чисел, которые вычислялись независимо. Их можно вводить в ЭВМ, хранить в виде файла на магнитной ленте или магнитном диске коллективного пользования. А еще лучше заготовить собственный файл случайных чисел.
В настоящее время наиболее распространенный способ выработки случайных чисел на ЭВМ состоит в том, что в памяти хранится некоторый алгоритм выработки таких чисел по мере потребности в них (подобно тому, как вычисляются значения элементарных функций, а не хранятся их таблицы). Поскольку эти числа генерируются по наперед заданному алгоритму, то они не совсем случайны (псевдослучайны), хотя и обладают свойственными случайным числам статистическими характеристиками.