- •Алгоритмы и алгоритмические языки
- •Лекция 1 Представление чисел в эвм Целые
- •Вещественные
- •Ошибки вычислений
- •Лекция 2 Алгоритмы. Сведение алгоритмов. Нижние и верхние оценки.
- •Сортировки Постановка задачи
- •Сортировка пузырьком.
- •Сортировка слиянием с рекурсией.
- •Сортировка слиянием без рекурсии.
- •Лекция 3 Алгоритмы. Сведение алгоритмов. Сортировки и связанные с ними задачи.
- •Доказательство корректности работы алгоритма.
- •Оценки времени работы алгоритма.
- •Некоторые задачи, сводящиеся к сортировке.
- •Лекция 4 Алгоритмы. Сведение алгоритмов. Сортировки и связанные с ними задачи.
- •HeapSort или сортировка с помощью пирамиды.
- •Алгоритмы сортировки за время o(n)
- •Сортировка подсчетом
- •Цифровая сортировка
- •Сортировка вычерпыванием
- •Лекция 5 Алгоритмы. Сведение алгоритмов.
- •Порядковые статистики.
- •Поиск порядковой статистики за время (n) в среднем
- •Поиск порядковой статистики за время (n) в худшем случае
- •Язык программирования c.
- •Переменные
- •Структуры данных.
- •Вектор.
- •Лекция 6
- •Стек. Реализация 1 (на основе массива).
- •Стек. Реализация 2 (на основе массива с использованием общей структуры).
- •Стек. Реализация 3 (на основе указателей).
- •Стек. Реализация 4 (на основе массива из двух указателей).
- •Стек. Реализация 5 (на основе указателя на указатель).
- •Очередь.
- •Стандартная ссылочная реализация списков
- •Ссылочная реализация списков с фиктивным элементом
- •Реализация l2-списка на основе двух стеков
- •Реализация l2-списка с обеспечением выделения/освобождения памяти
- •Лекция 7 Структуры данных. Графы.
- •Поиск пути в графе с наименьшим количеством промежуточных вершин
- •Представление графа в памяти эвм
- •Массив ребер
- •Матрица смежности
- •Матрица инцидентности
- •Списки смежных вершин
- •Реберный список с двойными связями (для плоской укладки планарных графов)
- •Лекция 8 Структуры данных. Графы.
- •Поиск кратчайшего пути в графе
- •Алгоритм Дейкстры
- •Конец вечного цикла
- •Алгоритм Дейкстры модифицированный
- •Конец вечного цикла
- •Лекция 9 Бинарные деревья поиска
- •Поиск элемента в дереве
- •Добавление элемента в дерево
- •Поиск минимального и максимального элемента в дереве
- •Удаление элемента из дерева
- •Поиск следующего/предыдущего элемента в дереве
- •Слияние двух деревьев
- •Разбиение дерева по разбивающему элементу
- •Сбалансированные и идеально сбалансированные бинарные деревья поиска
- •Операции с идеально сбалансированным деревом
- •Операции со сбалансированным деревом
- •Поиск элемента в дереве
- •Добавление элемента в дерево
- •Удаление элемента из дерева
- •Поиск минимального и максимального элемента в дереве
- •Поиск следующего/предыдущего элемента в дереве
- •Слияние двух деревьев
- •Разбиение дерева по разбивающему элементу
- •Лекция 10 Красно-черные деревья
- •Отступление на тему языка с. Поля структур.
- •Отступление на тему языка с. Бинарные операции.
- •Высота красно-черного дерева
- •Добавление элемента в красно-черное дерево
- •Однопроходное добавление элемента в красно-черное дерево
- •Удаление элемента из красно-черного дерева
- •Лекция 11
- •Высота b-дерева
- •Поиск вершины в b-дереве
- •Отступление на тему языка с. Быстрый поиск и сортировка в языке с
- •Добавление вершины в b-дерево
- •Удаление вершины из b-дерева
- •Лекция 12 Хеширование
- •Метод многих списков
- •Метод линейных проб
- •Метод цепочек
- •Лекция 14 Поиск строк
- •Отступление на тему языка с. Ввод-вывод строк из файла
- •Алгоритм поиска подстроки с использованием хеш-функции (Алгоритм Рабина-Карпа)
- •Конечные автоматы
- •Отступление на тему языка с. Работа со строками
- •Алгоритм поиска подстроки, основанный на конечных автоматах
- •Лекция 15 Алгоритм поиска подстроки Кнута-Морриса-Пратта (на основе префикс-функции)
- •Алгоритм поиска подстроки Бойера-Мура (на основе стоп-символов/безопасных суффиксов)
- •Эвристика стоп-символа
- •Эвристика безопасного суффикса
- •Форматы bmp и rle
- •Bmp без сжатия.
Доказательство корректности работы алгоритма.
Доказательство корректности работы алгоритма сводится к доказательству Замечаний 1-3 для каждого тела вечного цикла алгоритма.
Рассмотрим два принципиально разных случая.
1. Случай Ap=min{ Ap , Ap+1 , ..., Aq }. Все остальные элементы массива больше Ap.
В конце первого выполнения тела вечного цикла алгоритма i=p, j=p. Все элементы в первой половине множества (она, в данном случае, состоит из одного элемента) оказываются меньше элементов из второй половины. Массив разбивается на половины размерами 1:N-1, где N=q-p+1 – количество элементов в массиве.
2. Все остальные случаи.
Доказательство Замечания 1. При работе алгоритм индексы массива i и j никогда не выйдут за его границы p и q.
Выход за границы массива, потенциально, может произойти только в результате выполнения циклов Пока… или при выполнении операций i + +; j - -; в конце тела вечного цикла алгоритма.
Изначально на первом месте массива стоит Ap = x. В конце выполнения первого тела вечного цикла алгоритма Ap может поменяться местами с элементом меньше либо равным x и в дальнейшем элемент Ap не изменится. Т.о. на первом месте массива всегда будет стоять элемент x и в процессе выполнения цикла Пока… j не сможет оказаться меньше p. В результате выполнения операций i + +; j - -; выхода за левую границу массива также не может произойти, т.к. если бы это произошло, то это означало бы, что перед этой операцией выполнялось бы j=p. Но в этом случае оказывается неверным соотношение i < j (т.к. ip ) и, следовательно, попасть в данную точку алгоритма при этих условиях оказывается невозможным.
Разберемся с правой границей. Если в первый момент Aq x, то j сразу же уменьшится на 1 и впоследствии Aq не изменится. Это гарантирует, что в процессе выполнения цикла Пока… i не сможет оказаться больше q. Если же Aq < x, то после циклов Пока… i и j не изменятся и Ap и Aq сразу же поменяются местами. Далее Aq не изменится и i не сможет превысить q. В результате выполнения операций i + +; j - -; выхода за правую границу массива не сможет произойти по причинам аналогичным обсужденным ранее. Замечание доказано.
Доказательство Замечания 2. В алгоритме никогда не произойдет вечной рекурсии, т.е. при рекурсивном вызове
p j < q
Первое из требуемых неравенств доказано выше. Второе также легко доказать. Действительно, если при первом входе в тело вечного цикла алгоритма Aq x, то j сразу же уменьшится, и мы получим требуемое. Иначе, при первом выполнении тела вечного цикла алгоритма в циклах Пока… , i и j не изменятся, поэтому после этих циклов i < j и j обязано уменьшится в конце тела цикла. Замечание доказано.
Доказательство Замечания 3. Алгоритм гарантирует корректное разбиение массива, т.е. после разбиения массива выполняются соотношения
Ak x для всех k: p k j
Al x для всех k: j+1 l q
Согласно построению алгоритма в конце выполнения тела вечного цикла алгоритма гарантируется, что
Ak x для всех k < i
Al x для всех l > j
Т.о. мы сразу же получаем выполнение второго из неравенств Замечания 3. Первое неравенство оказывается более хитрым (именно оно не выполняется при работе алгоритма QuickSort*). В рассматриваемом случае среди элементов правее первого найдется элемент меньше первого, из чего следует, что после первого выполнения циклов Пока… в тела вечного цикла алгоритма i останется строго меньше j, после чего Ai поменяется местом с Aj и выполнится i + +; j - - . Т.о. элемент со значением x далее останется в правой половине массива (этот факт мы используем далее в доказательстве теоремы о среднем времени работы алгоритма QuickSort).
Если после выполнения циклов Пока.. в некотором теле вечного цикла алгоритма окажется, что i > j, то из приведенных соотношений сразу следует первое неравенство Замечания 3. Случай i < j говорит о незавершенности алгоритма. Осталось рассмотреть случай i = j. Этот вариант может реализоваться только в случае, когда Aj = x, тогда получаем, что Ak x для всех k < j и Ak = x для всех k = j. Итого, получаем первое неравенство Замечания 3 (в алгоритме QuickSort* этот случай создается искусственно и поэтому первое неравенство из Замечания 3 остается невыполненным).