Операции с идеально сбалансированным деревом

Выше мы описали ряд алгоритмов выполнения базовых операций для деревьев поиска. К сожалению, не существует быстрых алгоритмов, для выполнения этих операций для идеально сбаланированных деревьев. Однако, определение идеально сбаланированного’ дерева, фактически, дает нам алгоритм его построения, что сразу же дает нам возможность строить и идеально сбаланированное дерево по тому же набору элементов. Для построения идеально сбаланированного’ дерева по набору из N элементов упорядочим этот набор. После этого алгоритм построения дерева сводится к разбиению полученной последовательности {a_i}_i=1,…,N на последовательности {a_i}_{i=1,…,[N/2]} и {a_i}_{i=[N/2]+2,…,N}. Эти последовательности либо имеют равную длину (для нечетных N), либо их длина отличается не более, чем на единицу (для четных N). В корень создаваемого дерева помещаем элемент a_[N/2]+1 , а левое и правое поддеревья строим таким же алгоритмом, соответственно, для последовательностей {a_i}_{i=1,…,[N/2]} и {a_i}_{i=[N/2]+2,…,N}.

Итак, приведенный алгоритм доказывает следующую теорему:

Теорема. Идеально сбалансированное’ (а значит и идеально сбалансированное) дерево поиска, состоящее из N вершин, можно построить за время, равное O(N log₂ N).

Таким образом, идеально сбалансированные деревья поиска удобны в тех случаях, когда перестройку дерева требуется производить, относительно редко, но требуется часто искать элементы в дереве. Приведенная оценка на высоту дерева гарантирует, что данная структура данных является наилучшей, с точки зрения времени поиска элементов в множестве (отметим, что здесь мы рассматриваем толко алгоритмы поиска, основанные на сравнениях). Все остальные операции (добавления элементов, удаления элементов и т.д.) в идеально сбалансированном дереве производятся с помощью полной перестройки дерева, т.е. они производятся медленно.

Отметим, что наша задача выродилась. Идеально сбалансированные деревья полезны только для поиска элементов в этих деревьях, но тогда дерево вообще не нужно строить! Достаточно ограничиться упорядоченным массивом исходных элементов, а поиск производить с помощью бинарного поиска. В этом случае, согласно построению идеально сбалансированного дерева’, поиск по дереву будет в точности совпадать с поиском по массиву, что делает само дерево ненужным.

Операции со сбалансированным деревом

Оказывается, что для сбалансированных деревьев все описанные выше операции можно модифицировать так, что они будут сохранять сбалансированность дерева, при этом, время их выполнения не будет превышать O(log₂ N) операций. Везде далее, говоря о сбалансированных деревьях, будем подразумевать, что мы имеем дело с сбалансированными деревьями поиска.

Правым и левым поддеревьями некоторой вершины дерева v называются поддеревья с корнями v->left и v->right, соответственно.

Балансом вершины дерева будем называть разность высот левого и правого поддеревьев этой вершины.

Поиск элемента в дереве

Не отличается от случая стандартных деревьев поиска.

Добавление элемента в дерево

Рассмотрим вершину дерева a, в которой нарушается баланс после добавления элемента. Все нижесказанное будет верным, если это не оговорено особо, и для случая какого-либо изменения одного из поддеревьев вершины a, приводящего к удлинению/укорачиванию соответствующего дерева на 1.

Будем предполагать, что для всех вершин, лежащих ниже a, баланс по модулю не превосходит 1.

Пусть, для определенности, элемент добавляется в левое поддерево вершины a. Справа и сверху от вершины будем писать баланс вершины после добавления новой вершины, а рядом, в круглых скобках, - баланс до добавления. Высоту соответствующего данной вершине поддерева будем писать справа снизу от вершины.

То, что дерево после добавления вершины разбалансировалось, означает, что до добавления вершины [a]=1, а после добавления [a]=2 (будем обозначать баланс вершины с помощью квадратных скобок: баланс вершины a = [a]). Возможны три случая баланса вершины b после изменения дерева: 1, 0, -1. Рассмотрим их

1.После добавления вершины [b]=1 или 0 (или изменения поддерева с корнем b) ([b]=1 соответствует удлинению левого поддерева b)

На рисунке варианты [b]=1 или 0 печатаются через слеш (косую черту).

Приведенную здесь перестановку вершин (с соответствующими поддеревьями) будем называть правым поворотом (в соответствии с перемещением вершин d-b-a).

Будем обозначать высоты дерева с корнем в вершине x h_x , а баланс этой вершины [x].

Пусть h_e=h, тогда для случая [b]=1

h_d=h+1 (т.к. [b]=1)

h_b=h+2

h_a=h+3

h_c=h (т.к. [a]=2)

Из чего сразу следует, что после правого поворота

[a]=[b]=0

[c], [d], [e] не изменились

Т.о. данное дерево сбалансировалось. При этом, если изменение дерева произошло в результате добавления вершины, его высота не изменилась. Действительно, перед добавлением вершины h_d=h из чего следует, что перед добавлением вершины h_a=h+2. После добавления высота не изменилась. Т.о. в случае [b]=1 процесс балансировки дерева завершен.

Для случая [b]=0 нарисованное дерево тоже остается сбалансированным:

h_d=h (т.к. [b]=0)

h_b=h+1

h_a=h+2

h_c=h-1 (т.к. [a]=2)

Из чего сразу следует, что после правого поворота

[a]=1, [b]=-1

[c], [d], [e] не изменились.

Однако высота всего нарисованного дерева изменяется (была до добавления h_a=h+1, стала h_a=h+2).

Итак, если перед изменением дерева h_b=1, то процесс балансировки завершен. Иначе, может разбалансироваться родитель вершины a, и для нее нужно выполнить тот же алгоритм.

2.После добавления вершины [b]=-1 (или изменения поддерева с корнем b) (удлинение правого поддерева b)

Описанная перестановка может быть проведена за два вращения: левого g-e-b и правого b-e-a:

Возможны три варианта баланса c: [c]=0/1/-1. Пусть h_e=h, тогда, в соответствии с возможными вариантами [c] имеем:

h_f=h-1/h-1/h-2

h_g=h-1/h-2/h-1

h_d=h-1

h_b=h+1

h_a=h+2

h_c=h-1

Из чего сразу следует, что после правого поворота

[b]=0/0/1

[a]=0/-1/0

[e]=0

[d], [f] , [g] , [c] не изменились.

Т.о. данное нарисованное дерево сбалансировалось. При этом, если изменение дерева произошло в результате добавления вершины, его высота не изменилась. Действительно, перед добавлением вершины h_e=h-1 из чего следует, что перед добавлением вершины h_a=h+1. После добавления высота не изменилась. Т.о. в случае добавления вершины при [b]=-1 процесс балансировки дерева завершен.

Т.о. процедура вставки вершины в сбалансированное дерево поиска сводится к нахождению вершины v, после которой следует вставить новую вершину и проверке условия сбалансированности всех вершин на ветке, завершающейся в v. Причем, проверку надо вести от вершины v к корню и если встретится разбалансированная вершина, то с помощью одного или двух вращений все дерево можно привести к сбалансированному.

Итак, мы доказали следующую теорему

Теорема. В сбалансированное дерево поиска, состоящее из N вершин, можно добавить одну вершину за время O(log₂ N). При этом, для балансировки дерева потребуется не более двух поворотов.

Отметим, что хотя балансировок требуется не более двух, весь процесс балансировки, все же, требует времени O(log₂ N), т.к. требуется еще найти – в какой вершине следует производить балансировку.