-
Добавление вершины в b-дерево
По аналогии с деревом поиска новый элемент сначала вставляется в некоторый лист V В-дерева степени n. Если, после этого, количество элементов в данном листе останется меньшим 2n-1, то на этом процедура завершается. Иначе в элементах данной вершины находится медиана x и вершина разбивается на две вершины по n-1 элементу в каждой, причем элементы в первой вершине V- должны быть меньше x, а во второй V+ – больше x. Элемент x вставляется в массив элементов в родительской вершине между элементами, между которыми находилась ссылка на вершину V. Ссылки на вершины V- и V+ должны расположиться непосредственно слева и справа от x. После этого, если в родительской вершине количество элементов становится меньше 2n-1, то на этом процедура завершается. Иначе процедура разбиения вершины рекурсивно применяется для родителя.
Приведем пример. В следующее дерево требуется вставить элемент со значением 4.
Элемент 4 надо вставлять в вершину со значениями {1, 5, 7, 8}. Итого мы получим {1, 4, 5, 7, 8}. Т.е. количество элементов равно 2n-1. Вершина дерева разбивается на две: {1, 4} и {7, 8} со стыковочным элементом 5. Элемент 5 вставляется в родителя вершины {10, 15}, на чем процесс вставки завершается:
В худшем случае процедура будет последний раз применена для корня дерева и дерево увеличит свою высоту на 1.
-
Удаление вершины из b-дерева
Для удаления элемента, равного заданному, требуется, сначала, его найти. При осуществлении поиска мы параллельно будем обеспечивать условие, гарантирующее, чтобы в вершине, из которой будет удаляться элемент, было бы не менее
n элементов (по определению В-дерева достаточно, чтобы в вершине присутствовало не менее n-1 элемента).
Итак, в процессе поиска вершины, содержащей удаляемый элемент v, мы вводим понятие текущей вершины x. Текущая вершина перемещается от корня дерева по соответствующей ветви к вершине, содержащей удаляемый элемент.
Для каждого очередного значения текущей вершины возможен один из следующих вариантов
1) Вершина является листом.
Если, при этом, вершина - корень (все дерево состоит из одной вершины), то мы просто удаляем найденный элемент из этой вершины (если элемент найден). Если дерево состоит более, чем из одной вершины, то в результате выполнения следующих пунктов, данная вершина содержит не менее n элементов и найденный элемент можно исключить из данной вершины (если он нашелся, иначе - элемент отсутствует в дереве).
2) Вершина x - внутренняя. Элемент v в вершине x не найден.
Ищем потомка x->child[i] вершины x, с которого начинается поддерево,
содержащее элемент v (если он вообще есть в дереве). По условию мы должны гарантировать, чтобы в вершине x->child[i] содержалось бы не менее n элементов. Если это выполняется, то переходим к рассмотрению этой вершины:
x=x->child[i].
Иначе мы либо `перетаскиваем' один элемент из брата вершины x->child[i] в
вершину x->child[i], либо, если это невозможно, объединяем данную вершину с братом. Более подробно, есть два варианта:
а) У вершины x->child[i] есть брат, содержащий не менее n элементов.
Пусть, для определенности, это - правый брат, т.е. x->child[i+1]->n n.
Тогда мы переносим элемент x->value[i] в конец массива элементов x->child[i]
(соответственно, увеличив на 1 значение x->child[i]->n) и
элемент x->child[i+1]->value[0] переносим на место x->value[i]
(соответственно, уменьшив на 1 значение c->child[i+1]->n):
x->child[i]->value[++x->child[i]->n]=x->value[i];
x->value[i]=x->child[i+1]->value[0];
for(i=1;i<x->child[i+1]->n;i++)
x->child[i+1]->valuie[i-1]=x->child[i+1]->valuie[i];
x->child[i+1]->n--;
Например, требуется в следующем дереве удалить вершину 11 в В-дереве степени 3:
У данной вершины есть сосед (левый), содержащий 3 элемента. Тогда мы максимальный элемент из этой вершины – 7 – помещаем на место 10, а 10 помещаем на место 11:
Теперь мы можем перейти к рассмотрению следующей вершины:
x=x->child[i];
б) У вершины x->child[i] все братья содержат n-1 элемент.
Допустим, для определенности, у вершины x->child[i] есть правый брат. Тогда, мы объединяем вершину x->child[i] с вершиной x->child[i+1] с помощью стыковочного элемента x->value[i]. Т.е. мы добавляем элемент x->value[i] в конец массива x->child[i]->value и затем добавляем все элементы из x->child[i+1] в конец массива x->child[i]->value.
Осталось удалить все лишнее: элемент x->value[i] из массива x->value, потомка x->child[i+1], ссылку x->child[i+1] из массива x->child.
Здесь мы воспользовались тем, что в вершине x есть хотя бы n элементов.
Например, требуется в следующем дереве удалить вершину 14 в В-дереве степени 3:
Для этого мы объединяем вершину {11,14} с элементом 15 и с вершиной {17,57}:
Теперь мы можем перейти к рассмотрению следующей вершины:
x=x->child[i];
3. Вершина x - внутренняя, в вершине найден элемент x->value[i]==v.
Сначала удаление производится аналогично дереву поиска: в одном из поддеревьев, соседних данной вершине, например, для определенности, в правом соседнем поддереве данной вершины (т.е. в поддереве, начинающемся с вершины x->child[i+1]) находим элемент v0, ближайший к v. В нашем случае это – минимальный элемент поддерева, начинающегося с вершины x->child[i+1]. Далее, помещаем элемент v0 на место элемента v и запускаем процедуру удаления старого (т.е. удаленного) элемента v0.
Здесь, чтобы не запутаться в `старом’ v0 и `новом’ v0 лучше сначала запомнить адрес элемента, на который мы должны скопировать v0 и само значение v0, далее можно осуществить процедуру удаления элемента v0 и только потом скопировать запомненное v0 по запомненному адресу.