9. Разбиение дерева по разбивающему элементу

Для данной вершины дерева v разбиение сбалансированного дерева поиска T на два сбалансированных дерева поиска T₁ и T₂ таких, что все элементы в T₁ меньше или равны v, и все элементы в T₂ больше или равны v.

Алгоритм, практически полностью, совпадает с алгоритмом разбиения обычного дерева поиска. Только, теперь, нам следует пользоваться алгоритмом слияния деревьев для сбалансированных деревьев поиска.

Пусть высота дерева T₀ равна s₀. Пусть с деревом T₀ будут последовательно сливаться деревья T с индексами i₁,…,i_K (i_Kh), в результате чего будут получаться деревья S₁, S₂,…, S_K . Будем считать S₀= T₀. Т.е. S_j-1+ T_ij  S_j .

Высота дерева S_j равна либо MAX(h(S_j-1),h(T_ij )), либо MAX(h(S_j-1),h(T_ij ))+1.

Пусть R_i – деревья с корнями в вершинах v_i. Высота дерева R_i равна либо h(T_i)+1 либо h(T_i)+2. h(R_i) строго возрастают.

Покажем по индукции , что высота дерева S_j равна либо h(R_ij), либо h(R_ij)-1, либо h(R_ij)-2. Пусть данное свойство выполнено для l<j, тогда

h(S_j )=MAX(h(S_j-1),h(T_ij )) | MAX(h(S_j-1),h(T_ij ))+1 следовательно

h(S_j )= MAX(h(S_j-1),h(R_ij) -1) | MAX(h(S_j-1),h(R_ij) -2) |

MAX(h(S_j-1),h(R_ij) -1)+1 | MAX(h(S_j-1),h(R_ij) -2)+1 следовательно по индукции

h(S_j )= (h(R_ij) -1) | ((h(R_ij) -1) | h(R_ij) -2) |

h(R_ij) | (h(R_ij) | h(R_ij) -1) следовательно

h(S_j )= h(R_ij) | (h(R_ij) -1) | (h(R_ij) -2)

Здесь под вертикальной чертой подразумевается разделение возможных вариантов.

Время работы всего алгоритма

T=O(|h(T₀)- h(T_i1 )|+1 +| h(S₁)- h(T_i2 )|+1 +…+| h(S_K-1) - h(T_iK )|+1)=

=O(|h(T₀)- h(T_i1 )| +| h(S₁)- h(T_i2 )| +…+| h(S_K-1) - h(T_iK )|)+O(h)=

=O(|h(T₀ )- h(R_i1 )|+4 +| h(R_i1 )- h(R_i2 )|+4 +…+| h(R_i(K-1) ) - h(R_iK )|+4)+O(h)=

(в силу возрастания h(R_i) )

=O(|h(T₀ )- h(R_i1 )|+| h(R_i1 )- h(R_i2 )|+…+| h(R_i(K-1) ) - h(R_iK )|)+O(h)= O(h)

Т.о. T= O(h)=O(log₂ N), где N – количество вершин в суммарном дереве.

Итак, верна следующая

Теорема. Для данной вершины v сбалансированного дерева поиска T разбиение на два сбалансированных дерева поиска T₁ и T₂ таких, что все элементы в T₁ меньше или равны v, и все элементы в T₂ больше или равны v. может быть произведено указанным алгоритмом за время = O(log₂ N), где N – суммарное количество вершин в деревьях T₁ и T₂.

19. Лекция 10

20. Красно-черные деревья

Красно-черными деревьями называют бинарные деревья поиска, у которых для каждой вершины добавляется дополнительное свойство: вершина является черной или красной. При этом требуется выполнение следующих свойств:

• корень дерева – черный

• у каждой красной вершины потомки – черные

• в любых двух ветвях от корня до листа количество содержащихся черных вершин равно

Для простоты реализации в дерево добавляются фиктивные черные вершины: для каждой вершины дерева, при отсутствии у нее потомка, на место соответствующего потомка вставляется фиктивная черная вершина.

Вершины, отличные от фиктивных, называются внутренними. Будем далее называть листьями вершины, все потомки которых – фиктивные. При определении высоты дерева фиктивные вершины учитывать не будем.

Например, для задания одной вершины красно-черного дерева целых чисел в языке С можно использовать следующую структуру

typedef struct SBTree_

{

int IsRed;

int value;

struct STree_ *par;

struct STree_ *left, *right;

} SBTree;

здесь указатель par указывает на родительский элемент данной вершины, а left и right – на двух потомков, которых традиционно называют левым и правым. Целая переменная IsRed указывает – является ли данная вершина красной. Величина value называется ключом вершины.