- •1. Числовая последовательность ….
- •2. Монотонные…
- •3. Функцией
- •4. Пределы.
- •7. Свойства пределов
- •8. Предельный переход в неравенстве (д-во
- •9. Первый замечательный предел
- •10. Непрерывность
- •11. Точки разрыва
- •12. Вейерштрасс
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Производная функции ….
- •15. Вычисление производных
- •16. Таблица производных (см. Шпору)
- •17. Производная сложной функции
- •18. Производные высших порядков
- •19. Классификация б.М.Ф.
- •20. Дифференциал.
- •21. Дифференцируемость
- •22. Теорема Ферма:
- •23.Теорема Ролля:
- •24. Теорема Лагранжа:
- •25. Правила Лопиталя
- •26. Монотонность
- •27. Экстремумы (Док-во: файл)
- •28. Выпуклость (Док-во: файл)
- •29. Асимптоты
- •30. Формула Тейлора
- •31. Разложение в ряд Тейлора: см. Фотофайл (взять из нета)
- •32. Функции нескольких переменных
- •33. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных.
- •34. Частные производные
- •35. Дифференцируемость двух переменных. (Док-во: файл)
- •36. Производная по направлению
- •37. Градиентом функции
- •38. Свойство градиента двух переменных.
- •39. Экстремумы (теоремы с доказательствами)
- •40. Условный экстремум.
- •41. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •42. Свойства первообразных и неопределенного интеграла.
- •43. Таблица интегралов (см. Шпору)
- •44. Основные методы вычисления неопределенных интегралов.
- •45. Определенный интеграл и суммы Римана. (Внести формулы в шпору)
- •46. Свойства определенного интеграла.
- •47. Среднее значение.
- •48. Интеграл с верхним пределом
- •49. Формула Ньютона-Лейбница
- •50. Способы вычисления определенного интеграла. (д-во: с. 231-232)
- •51 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
- •52 Несобственные интегралы от неограниченных функций
4. Пределы.
Число А называется пределом функции в точке х0 (x->x0), если для любого числа E>0 существует число б>0 такое что для всех х≠х0, удовлетворяющих неравенству |х-х0|<б, выполняется неравенство |f(x)-A|<Е. (limf(x)=A При x->x0)
Конечный предел – предел, выраженныый неким числом (А). Равный бесконечности – бесконечный, т.е. предела нет.
3Число А называется пределом функции f(x) при х→∞, если для любой б.б.последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к А.
4Число А называется пределом функции f(x) при х→+∞ (х→-∞) если для любой б.б. последовательности значений аргумента, элемента хn которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сход. к А.
5Число А называется пределом функции f(x) при х→+∞, если для любого числа Е>0 существует число δ такое, что для всех хϵХ, удовлетворяющих неравенству x>б, выполняется неравенство |f(x)-A|<Е.
А1 – предел y=f(x) слева в точке х0, если для любого Е>0 есть б=б(Е)>0, такое, что при х(прин.)(х0-б;х0) выполняется неравенство /f(x)-A1/<T (limf(x)=A1 при x->x0-0)
А2 – предел y=f(x) справа в точке х0, если для любого Е>0 есть б=б(Е)>0, такое, что при х(прин.)(х0;х0+б) выполняется неравенство /f(x)-A1/<T (limf(x)=A2 при x->x0+0)
Очевидно, что если есть limf(x)=A, то есть и оба односторнних предела.
5. Б.м.ф.
Функция называется б.м. функцией в точке х=х0 (или при х→х0), если lim f(x)=0.
Свойства: 1)Алгебраическая сумма конечного числа б.м. функции есть б.м. функция.
Д-во: Пусть a(x) и b(x) – две б.м.ф. при x->x0. Это значит, что lima(x)=0 (x->x0), т.е. для любого E>0, а, стало быть, и E/2>0 найдется число б1 такое, что для всех х, удовлетворяющих 0<|x-x0|<б, выполняется неравенство |a(x)|<E/2 (1), и lim b(x)=0 (x->x0) => для любого E/2>0 есть б2>0 да такое, что для любого х 0<|x-x0|<б2, из чего следует |b(x)|<E/2 (2). Пускай б – наименьшее из б1 и б2. Тогда для всех х, удовлетворяющих 0<|x-x0|<б, выпоняются равенства (1) и (2). Значит, имеет место соотношение |a(x)+b(x)|<=|a(x)+|b(x)|<E/2+E/2=E, и |a(x)+b(x)|<E, что означает: lim (a(x)+b(x))=0 (x->x0), a(x) и b(x) – б.м.ф. при x->x0.
2) Произведение ограниченной функции на б.м. функцию есть б.м. функция.
Д-во: Пусть f(x) ограничена при x->x0. Тогда существует такое М>0, что |f(x)|<M (1) для всех х из б1-окрестности точки х0. Пусть а(х) – б.м.ф. при x->x0. Стало быть для любого Е>0 и E/M>0 найдется аткое б2>0, что при всех х, удовлетворяющих 0<|x-x0|<б выполняется |a(x)|<E/M (2). Пусть теперь б – наименьшее из б1 и б2. Тогда для всех х удовлетворяющих 0<|x-x0|<б выполняются (1) и (2). Значит, |f(x)|*|a(x)|<E/M*M=E, что говорит: f(x)a(x) при x->x0 есть б.м.ф.
3) (следствие 2)Т.к. всякая б.м. функция ограничена, то из 2 вытекает произведение двух б.м. функций есть функция б.м.
4) (следствие 2) Произведение б.м. функции на число есть б.м.ф.
5) Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть б.м.ф.
6) Если функция а(х) – б.м., то функция 1/а(х) – б.б. и наоборот.
Теорема: Если функция имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и б.м.ф. а(х), т.е. если lim(f)=A, то (f)=A+a(x). Скажем: если lim(х+5)=7 при х->2, то f(x)=7+х-2
Д-во: Пусть есть limf(x)=A (x->x0) => Для любого E найдется б>0 такое, что для для всех будет выполняться 0<|x-x0|<б => |f(x)-A|=E, или |f(x)-A-0|=E, что значит: f(x)-A имеет нулевой предел, т.е. является б.м.ф., которая может быть обозначена через a(x): f(x)-A=a(x), откуда: f(x)=A+a(x)
6. Б.б.ф.
Функцией называется бесконечно большой (б.б.) в точке х=х0 (или при х→х0) если для любого Е>0 существует δ>0 такое что для всех хϵХ, х≠х0, удовлетворяет неравенству |x-x0|<δ, выполняется неравенство |f(x)|>Е. lim=∞. Иначе б.б.ф. – функция, кторая при х стрем. к х0 имеет бесконечный предел.
Если же выполняется f(x)>Е (f(x)<-Е), то пишут . limх→х0=+∞ ( limх→х0=-∞)
6) Если функция а(х) – б.м., то функция 1/а(х) – б.б. и наоборот.