- •Раздел 1.Теория вероятностей
- •1.Случайные события и вероятности
- •1.1.1.Предмет теории вероятностей.
- •1.1.3 Действия над событиями
- •1.1.4.Формула полной вероятности
- •2.Случайные величины и законы их распределения
- •1.2.2.Функция распред-я и плотность распред-я
- •1.2.3 Числовые характер-ки дсв
- •1.2.4. Закон больших чисел
- •Раздел 2 .Математическая статистика
- •2.2.3.Интервальные оценки параметров нормального и биномиального распределений
Раздел 1.Теория вероятностей
1.Случайные события и вероятности
1.1.1.Предмет теории вероятностей.
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Опыт-это явление, происходящее при условиях, созданных человеком и которое может повторяться большое кол. раз. Результатом опыта наз. случайным событием.
Виды случайных событий
1.достоверные Е(событие, кот. в усл. данного опыта обязательно происходит)
2.невозможное U(никогда не происходят в усл. данного опыта)
3.несовместные(если в усл данного опыта не происх. одновременно)
4.совместные(в условиях данного опыта м. появиться одновременно)
5.В благопрепятствует А,если из факта появленияВ вытекает факт появления А.
6.А и Ас чертой,к каждому событию А мож. сопоставить противопол. события, т.е такое событие, кот дополн А)
1.1.2. Вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений.
n-опыт ,m,a-число опытов,при кот.события происх.
M(A)/n=ω(A)-частота проведения опытов
Классическое и статистическое определение вероятности
–теорема Бернулли или статистическая вероятность события А
Классическая формула вероятности.
Обознач набором элементов исх.опыта.-наз. Множество событий{ }i=1
1.в результате опыта обязат. Происх одно из данных событий
2.события попарно несовместны
3.статистич вероятность всех событий равны. )=p( =…=p( )
Геометрическая вероятность
Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, а не от его положения, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события А есть отношение меры А к мере U пространства элементарных событий. Под мерой понимается
-в одномерном пространстве - длина
-в двумерном пространстве - площадь
-в трехмерном пространстве - объем
Таким образом, геометрическая вероятность означает, что :
1.1.3 Действия над событиями
1. Если при всяком испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие B, то событие А называется частным случаем события B. А М B или B Й A
2. Событие (А и B), т. е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и B, называется произведением событий А и B и обозначается через
АB
3. Событие (А или B), т. е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и B, называется суммой событий А и B и обозначается через
А + B
4. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А и обозначает- ся через . 5. Событие (А и ), состоящее в том, что A происходит, а B не происходит, называется разностью событий А и B и обозначается через
А - B
Теорема сложения вероятностей произвольных событий
Вероятность суммы двух произвольных событий равна разности суммы и произведения вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Следствие. Вероятность суммы произвольных событий никогда не превосходит суммы вероятностей этих событий:
P(A1 + A2 +...+ An) ≤ P(A1) + P(A2) +...+P(An).
Теорема сложения несовместных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A1 + A2 +...+ An) = P(A1) + P(A2) +...+P(An).
Условные вероятности и независимые события
Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной> вероятностью события А и обозначается как
P(A|B) = PB(A).
Если при вычислении вероятности Р(А) никаких ограничений, кроме условий Ψ не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Строго говоря, безусловные вероятности также являются условными, поскольку исходным моментом их определения было предположение о существовании некоторого неизменного комплекса условий Ψ.
Определение 2. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого, т.е.
и .
В противном случае события называются зависимыми.
Теорема умножения вероятностей произвольных событий.
Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое имеет место, т.е.
P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
Следствие. Для любых двух событий А и В справедливо равенство
P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
Теорема умножения произвольных событий допускает обобщение на случай нескольких событий.
Теорема умножения независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A)P(B).
Теорема умножения независимых в совокупности событий. Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(A1 x A2 x...x An) = P(A1) x P(A2) x...x P(An).