- •7. Определённый интеграл Понятие определённого интеграла
- •Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление объёмов тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •8. Числовые ряды
- •Свойства сходящихся рядов
- •Необходимый признак сходимости
- •Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •Знакочередующиеся числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •9. Степенные ряды
- •Область сходимости степенного ряда
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена
- •Применение рядов в приближённых вычислениях
- •10. Функции нескольких переменных
- •Предел и непрерывность
- •Частные производные
- •Дифференциал функции
- •Градиент
- •Производная по направлению
- •Частные производные высших порядков
- •11. Исследование функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
- •Условный экстремум
- •Метод множителей Лагранжа
- •12. Общие понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения в полных дифференциалах
- •13. Дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия и определения
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Метод вариации произвольных постоянных
Свойства степенных рядов
Пусть функция является суммой степенного ряда, т.е. . На любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости , функция является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке.
.
В интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать: .
Полученные после дифференцирования или интегрирования ряды имеют тот же радиус сходимости R.
Пример 2. Найти область сходимости ряда
Решение. Находим радиус сходимости ряда: .
Интервал сходимости .
Проверяем сходимость ряда на концах интервала.
ряд сходится по признаку Лейбница.
. Сравним со сходящимся рядом . По предельному признаку сравнения: ряд сходится.
Ответ: область сходимости .
Пример 3. Найти область сходимости ряда
Решение. Найти радиус сходимости по формуле в данном случае невозможно, т.к. коэффициенты ряда и т.д. равны нулю. Применим признак Даламбера: .
Следовательно, ряд сходится при или на интервале .
Исследуем сходимость на концах интервала сходимости.
Обе эти ряда расходятся, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости.
Ответ: область сходимости .
Ряд Маклорена
Предположим, что функция , определённая и n раз дифференцируемая в окрестности точки х = 0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда:
Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производную функции , почленно дифференцируя ряд.
Полагая х = 0, получим
. Подставляем значения коэффициентов :
- ряд Маклорена.
Не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд расходится или сходится не к функции .
Сумму ряда Маклорена можно представить в виде , где - n-я частичная сумма ряда; - n-й остаток ряда.
Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. для всех значений х из интервала сходимости ряда.
Если функция разложена в ряд Маклорена, то это разложение единственное.
Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:
при .
Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:
где - остаточный член формулы Тейлора: , . При выполнении условия остаток ряда Тейлора равен остаточному члену формулы Тейлора.
Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
1. .
Область сходимости ряда
2. .
Область сходимости ряда
3. .
Область сходимости ряда
4. - биномиальный ряд.
Интервал сходимости ряда
5.
Область сходимости ряда
Пример 4. Разложить в ряд функцию .
Решение. Так как , то, заменяя х на , получим:
Применение рядов в приближённых вычислениях
С помощью степенных рядов можно вычислить с заданной степенью точности значения функций, определённых интегралов, которые являются неберущимися или слишком сложными для вычислений, интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример 5. Вычислить приближённо с точностью до 0,0001 .
Решение. Запишем ряд при :
Взяв первые 6 членов разложения, для сходящегося знакочередующегося ряда получим погрешность , не превышающую по модулю первого отброшенного члена ряда. .
.
Пример 6. Вычислить приближённо с точностью до 0,0001 .
Решение. Запишем ряд при , входящем в область сходимости ряда :
Возьмём первые 4 члена ряда, так как погрешность в этом случае
Мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в скобках равна ).
.
Задания для самостоятельного решения
Найти область сходимости ряда:
1. 2.
3. 4.
5. 6. 7.
8. 9. 10.
Разложить в степенной ряд по степеням х функции:
11. 12. 13. 14. 15.
16. 17. 18.
Разложить в ряд Тейлора следующие функции:
19. по степеням 20. по степеням
Вычислить приближённо с точностью до 0,0001:
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.