- •7. Определённый интеграл Понятие определённого интеграла
- •Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление объёмов тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •8. Числовые ряды
- •Свойства сходящихся рядов
- •Необходимый признак сходимости
- •Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •Знакочередующиеся числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •9. Степенные ряды
- •Область сходимости степенного ряда
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена
- •Применение рядов в приближённых вычислениях
- •10. Функции нескольких переменных
- •Предел и непрерывность
- •Частные производные
- •Дифференциал функции
- •Градиент
- •Производная по направлению
- •Частные производные высших порядков
- •11. Исследование функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
- •Условный экстремум
- •Метод множителей Лагранжа
- •12. Общие понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения в полных дифференциалах
- •13. Дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия и определения
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Метод вариации произвольных постоянных
Знакочередующиеся числовые ряды
Знакочередующийся ряд – ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: , где .
Признак Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине (по модулю) и предел его общего члена при равен нулю, т.е. , то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда .
Пример 11. Исследовать сходимость ряда .
Решение.
ряд сходится по признаку Лейбница.
Знакопеременные ряды
Пусть - знакопеременный ряд, в котором любой член может быть как положительным, так и отрицательным.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
Если ряд, составленный из модулей членов данного ряда сходится, то сходится и данный ряд.
Заметим, что обратное утверждение неверно.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Ряд называется условно сходящимся, сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Пример 12. Исследовать сходимость ряда .
Решение.
ряд сходится по признаку Лейбница.
3) Ряд, составленный из модулей, имеет вид . Это гармонический ряд, следовательно, он расходится.
Ответ: ряд сходится условно.
Пример 13. Исследовать сходимость ряда .
Решение.
ряд сходится по признаку Лейбница.
3) Ряд, составленный из модулей, имеет вид . Это обобщенный гармонический ряд, , следовательно, он сходится.
Ответ: ряд сходится абсолютно.
Пример 14. Исследовать сходимость ряда .
Решение.
ряд сходится по признаку Лейбница.
3) Ряд, составленный из модулей, имеет вид . Исследуем его сходимость, для этого применим предельный признак сравнения. Сравним с расходящимся гармоническим рядом . Найдём предел ряд расходится.
Ответ: ряд сходится условно.
Задания для самостоятельного решения
Исследовать сходимость ряда:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24.
25. 26. 27. 28.
30. 31. 32. 33.
34. 35. 36. 37.
38. 39. 40.
9. Степенные ряды
Ряды, членами которых являются степенные функции, называются степенными . Числа называются коэффициентами степенного ряда.
Область сходимости степенного ряда
Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .
Решение. Ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем , который сходится при . Отсюда , т.е. областью сходимости является интервал .
Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.
1) Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях х, таких, что .
2) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех значениях х, таких, что .
Из теоремы следует, что существует такое число , что при ряд сходится, а при - расходится. Число R называется радиусом сходимости.
Интервал - интервалом сходимости степенного ряда.
Для нахождения области сходимости, сначала находят интервал сходимости, затем проверяют сходимость ряда на концах интервала.