- •Тема 8. Линейные операторы в евклидовых и в унитарных пространствах.
- •1. Сопряженные операторы.
- •2. Самосопряженные операторы.
- •3. Нормальные операторы.
- •4. Унитарные операторы.
- •5. Ортогональные операторы.
- •Тема 9. Линейные, билинейные и квадратичные формы.
- •1. Линейные формы.
- •2. Билинейные формы.
- •3. Квадратичные формы.
- •4. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
2. Билинейные формы.
Будем рассматривать и как независимые переменные, пробегающие все линейное пространство над полем . Введем отображение , причем будем считать, что значения определяются только элементами и не зависят от выбора базиса в . называют билинейной формой, если при каждом фиксированном является линейной формой от , а при каждом фиксированном – линейной формой от .
Примеры билинейных форм.
-
Если и – линейные формы, определенные на пространстве , , то является билинейной формой.
-
. Пусть фиксирована непрерывная функция двух переменных . Для каждой пары непрерывных функций положим . В частности, если , то – произведение линейных функционалов.
-
, , . Пусть фиксирована матрица . Положим .
Если и – базис пространства , то , и билинейная форма в базисе имеет вид . Коэффициенты составляют матрицу билинейной формы в базисе .
Пусть и – два базиса в , связанные матрицей перехода . Тогда из разложений , получаем выражения билинейной формы в базисах и : .
Введем обозначения -матриц билинейной формы в базисах и : , . Как связаны матрицы и ?
Теорема 4. Если , то .
(Докажите самостоятельно.)
Следствие. .
Поскольку ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса в пространстве , это число естественно назвать рангом билинейной формы. Отметим еще, что .
Билинейные формы, определенные на , можно складывать и умножать на числа из поля ; при этом будут получаться новые билинейные формы.
Теорема 5. Множество всех билинейных форм, определенных на линейном пространстве , является линейным пространством. Если , то размерность пространства всех билинейных форм на равна .
(Докажите самостоятельно.)
Задача. Найдите базис в пространстве билинейных форм ().
Рассмотрим два важных класса билинейных форм. Билинейную форму называют симметричной, если для любых . Билинейную форму называют кососимметричной, если для любых .
Пример. В действительном евклидовом пространстве скалярное произведение является симметричной билинейной формой.
В базисе коэффициенты билинейной формы , поэтому матрица симметричной билинейной формы симметрична: для всех и , а матрица кососимметричной билинейной формы кососимметрична: для всех и (в частности, все ).
Теорема 6. В линейном пространстве всех билинейных форм, определенных на , множество всех симметричных билинейных форм образует подпространство; множество всех кососимметричных билинейных форм также образует подпространство. Пространство всех билинейных форм является прямой суммой этих двух подпространств.
Доказательство. Очевидно, что если и – симметричные билинейные формы, то и – симметричная билинейная форма, каковы бы ни были . Это значит, что симметричные билинейные формы образуют подпространство.
Если и – кососимметричные билинейные формы, то и – кососимметричная билинейная форма при любых . Это значит, что кососимметричные билинейные формы образуют подпространство.
Ясно, что билинейная форма может быть одновременно симметричной и кососимметричной в том и только в том случае, если она нулевая, т.е. для любых . Следовательно, сумма двух рассматриваемых подпространств является прямой суммой. С другой стороны, всякую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейных форм: ; – симметричная, – кососимметричная. Поэтому прямая сумма двух рассматриваемых подпространств совпадает со всем пространством билинейных форм.
Замечание. Если , то размерность подпространства всех симметричных билинейных форм равна , а размерность подпространства всех кососимметричных билинейных форм равна .
(Докажите самостоятельно, рассмотрев матрицы симметричных и кососимметричных билинейных форм в некотором фиксированном базисе пространства .)