![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема 8. Линейные операторы в евклидовых и в унитарных пространствах.
- •1. Сопряженные операторы.
- •2. Самосопряженные операторы.
- •3. Нормальные операторы.
- •4. Унитарные операторы.
- •5. Ортогональные операторы.
- •Тема 9. Линейные, билинейные и квадратичные формы.
- •1. Линейные формы.
- •2. Билинейные формы.
- •3. Квадратичные формы.
- •4. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
3. Нормальные операторы.
Продолжим
намеченную ранее аналогию между
комплексными числами и линейными
операторами в унитарном пространстве.
Всякое комплексное число
удовлетворяет условию
.
Возникает вопрос: для всех ли линейных
операторов
выполнено равенство
?
Следующий пример дает отрицательный
ответ на этот вопрос.
Пример.
Пусть
– ортонормированный базис в
,
и
(
– мнимая единица). Тогда
,
.
Поэтому
.
Определение.
Оператор
называют нормальным, если
.
Пусть
,
и в некотором ортонормированном
базисе матрица этого оператора
диагональна:
.
В этом же базисе матрица
оператора
имеет вид
.
Диагональные матрицы
перестановочны, поэтому перестановочны
и сами операторы
и
,
т.е. рассматриваемый оператор
нормален. Оказывается, что этим случаем
полностью исчерпывается класс нормальных
операторов: справедлива
Теорема
13. Оператор
является нормальным в том и только в
том случае, если в пространстве
существует ортонормированный базис, в
котором матрица этого оператора
диагональна.
(Без доказательства. Доказательство см в [1, 3, 4, 5].)
Нормальный оператор обладает следующими свойствами (докажите их самостоятельно).
Свойство
1. Пусть
– нормальный оператор. Если
,
,
то для того же вектора
выполнено равенство
.
Свойство
2. Пусть
– нормальный оператор. Тогда
.
Свойство
3. Пусть
– нормальный оператор. Тогда
,
.
Свойство
4. Пусть
– нормальный оператор. Если
,
,
и
,
,где
,
то
.
Свойство
5. Пусть
– нормальный оператор. Тогда операторы
и
имеют общий ортонормированный базис,
целиком состоящий из их собственных
векторов.
Свойство 6. Нормальный оператор является самосопряженным в том и только в том случае, если все его собственные значения действительны.
4. Унитарные операторы.
Аналогом множества
комплексных чисел
,
удовлетворяющих условию
,
является еще один важный класс операторов,
действующих в унитарном пространстве.
Определение.
Линейный оператор
,
действующий в унитарном пространстве,
называют унитарным, если
.
Замечание.
В конечномерном пространстве условия
и
эквивалентны. В бесконечномерном
пространстве эти два условия были бы
различными.
Из определения
ясно, что унитарный оператор нормален.
Основное свойство унитарного оператора
состоит в том, что
.
Понятие унитарного оператора имеет
простой геометрический смысл:
Теорема
14. Линейный оператор
,
действующий в унитарном пространстве
,
является унитарным в том и только в том
случае, если он сохраняет скалярное
произведение: для любых
.
Доказательство.
Пусть
– унитарный оператор. Тогда для любых
имеем
.
Обратно: пусть
для любых
.
Тогда
.
В силу произвольности
из последнего равенства получаем
для любого
.
Это значит, что
.
Докажем, что оператор
невырожденный. Предположим противное:
для некоторого
.
Тогда
,
т.е. скалярное произведение не сохраняется.
Итак, оператор
невырожденный, поэтому существует
обратный к нему оператор
.
Из равенства
получаем
,
т.е.
– унитарный оператор.
Следствие
1. Линейный оператор
,
действующий в унитарном пространстве
,
является унитарным в том и только в том
случае, если он сохраняет евклидову
норму каждого вектора: для любого
.
Доказательство.
Пусть
– унитарный оператор. Тогда для любого
имеем
,
т.е.
.
Обратно: пусть
оператор
сохраняет евклидову норму каждого
вектора, т.е. для любого
.
Заметим, что в унитарном пространстве
выполнено тождество
(11)
(проверьте самостоятельно;
здесь
– мнимая единица).
Из (11) в силу линейности оператора
и сохранения им евклидовой нормы получаем
.
Следствие
2. Если
– унитарный оператор, то любую
ортонормированную систему векторов он
переводит снова в ортонормированную
систему. Если линейный оператор
переводит какой-либо ортонормированный
базис
снова в ортонормированный базис
,
то
– унитарный оператор.
Доказательство.
Первое утверждение непосредственно
следует из теоремы 14. Докажем второе
утверждение. Пусть в ортонормированном
базисе
элементы
имеют разложения по базису
,
.
Тогда
.
В силу линейности оператора
имеем
,
.
Поскольку по условию
– тоже ортонормированный базис, то
снова имеем
.
Следовательно, для любых
.
Теорема
15. Нормальный оператор
является унитарным в том и только в том
случае, если все его собственные значения
по модулю равны единице.
Доказательство.
Пусть
– унитарный оператор, и
,
.
Можно считать, что
.
В самом деле, в противном случае
пронормируем этот собственный вектор:
является собственным вектором, отвечающим
тому же собственному числу
.
Тогда имеем
.
Обратно: пусть
– нормальный оператор, все собственные
числа которого по модулю равны единице.
По теореме 13 оператор
имеет ортонормированный базис
,
состоящий из его собственных векторов.
В этом базисе матрица оператора
имеет вид
,
где
– собственные числа оператора
;
по условию теоремы
,
.
Для сопряженного оператора
все векторы базиса
также являются собственными векторами,
но отвечают собственным числам
.
В базисе
матрица оператора
имеет вид
(см. свойство 5 нормального
оператора). Пусть
.
Тогда
.
В силу произвольности
это означает, что
.
Аналогично доказывается, что
.
Теорема
16. Пусть
– инвариантное подпространство
унитарного оператора
.
Тогда индуцированный оператор
является унитарным оператором, действующим
в
.
Кроме того,
является подпространством в
,
также инвариантным относительно
.
Доказательство.
Оператор
является унитарным в
,
так как он сохраняет скалярные
произведения.
является невырожденным в пространстве
оператором, так как он унитарный. Поэтому
.Следовательно, для любого элемента
существует такой элемент
,
что
.
Тогда для любого
имеем
(поскольку
).
Этим доказано, что если
,
то и
.
Запишем условия
унитарности оператора
в матричной форме. Для этого выберем
произвольный ортонормированный
базис
.
Пусть в этом базисе оператор
имеет матрицу
.
В том же базисе
оператор
имеет матрицу, сопряженную к
:
.
Требование унитарности означает,
что
– единичная
-матрица.
Перемножим эти матрицы:
(12)
Условие унитарности можно
записать и в виде
.
Тогда имеем
(13)
Матрицу, элементы которой удовлетворяют (12) или (13), называют унитарной.
Унитарная матрица является матрицей унитарного оператора в ортонормированном базисе. А по следствию 2 переход от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису задается унитарным оператором. Поэтому основным результатом для унитарных матриц является
Теорема
17. Пусть
– унитарная матрица. Тогда существует
такая унитарная матрица
,
что
,
где
– диагональная матрица, у которой на
диагонали стоят числа, по модулю равные
единице.
Теорема 17
утверждает, что унитарная матрица
унитарно подобна матрице
.
Аналогичными рассуждениями получаем основной результат для самосопряженных матриц:
Теорема
18. Пусть
– самосопряженная матрица. Тогда
существует такая унитарная матрица
,
что
,
где
– диагональная матрица, у которой на
диагонали стоят действительные числа.
(Докажите самостоятельно.)
Теорема 18
утверждает, что самосопряженная матрица
унитарно подобна матрице
.