6. Линейные нормированные пространства.
Рассмотрим
наиболее общий подход к измерению длин
векторов. Пусть
– линейное пространство над полем
(
или
).
называется линейным нормированным
пространством, если каждому его элементу
поставлено в соответствие действительное
число
– норма этого элемента, причем выполнены
следующие аксиомы:
1.
,
если
;
.
2.
для любого элемента
и
для любого
числа
.
3.
для любых
.
Определенная на всем пространстве
функция
(от независимой переменной
)
как раз и играет роль длины вектора
.
Утверждение.
В линейном нормированном пространстве
функция двух независимых переменных
удовлетворяет всем аксиомам метрики.
(Докажите самостоятельно.)
Это утверждение означает, что линейное нормированное пространство является метрическим пространством. Поэтому в нем можно, например, изучать сходимость последовательностей его элементов.
В одном и том же
линейном пространстве
можно ввести разные нормы
и
.
Возникает вопрос: если последовательность
сходится к элементу
в смысле
,
то будет ли та же последовательность
сходиться к
в смысле
?
На примере разных метрик мы видели в
разделе 5, что из сходимости в одном
смысле может не следовать сходимость
в другом смысле. Возможно ли такое
различие смыслов понятия сходимости в
линейном пространстве? В конечномерном
линейном пространстве?
Если в линейном
пространстве
введена норма
,
то можно ли найти такое скалярное
произведение, что
для любого
?
Иными словами, всякая ли норма является
евклидовой?
В данном разделе мы дадим ответы на поставленные вопросы.
Примеры нормированных пространств.
1.
,
.
2.
,
.
3.
,
но норма введена отличным от примера 2
способом:
.
4.
(
или
),
.
5.
(
или
),
но норма введена отличным от примера 4
способом:
.
Задача. Проверьте, что в приведенных примерах выполнены аксиомы нормы.
Теорема
12. Пусть
(
или
).
Для любого фиксированного действительного
числа
выражение
является нормой вектора
.
(Без доказательства. Доказательство см. в [4].)
Наибольшее применение находят следующие нормы:
,
,
.
Задача.
.
Изобразите на плоскости шар
радиуса
с центром в начале координат, заданный
в смысле разных норм:
,
,
.
Пусть в линейном
пространстве
введены две нормы
и
.
Говорят, что норма
подчинена норме
,
если существует такое число
,
что для всех элементов
выполнено неравенство
.
Если норма
подчинена норме
,
и последовательность
сходится к пределу
по
норме
,
то из неравенств
,
,
следует, что эта последовательность
сходится к тому же пределу и по норме
.
Нормы
и
называются эквивалентными, если
существуют такие числа
и
,
что для всех
выполнены неравенства
(здесь
и
– постоянные; они не зависят от выбора
).
Эквивалентность норм означает, что
всякая последовательность элементов,
сходящаяся по норме
,
сходится к тому же пределу и по норме
,
а всякая последовательность, сходящаяся
по
,
сходится и по
.
Теорема
13. Пусть
– конечномерное линейное пространство.
Тогда любые две нормы
и
в нем эквивалентны.
Доказательство.
Пусть
– линейное пространство над полем
(
или
),
,
– базис
.
Введем в
произвольную норму
.
Для любого элемента
имеем разложение по базису
:
.
Имея в виду, что базис
фиксирован, введем еще одну норму:
.
Линейное пространство
изоморфно пространству
,
поэтому
можно рассматривать и как норму в
,
и как норму элемента
;
– евклидова норма.
Докажем, что
норма
подчинена евклидовой норме
.
Имеем неравенства:
(первое
неравенство следует из аксиом нормы,
второе – неравенство Коши-Буняковского
в
).
Положим
.
Постоянная
определяется только базисом
;
она не зависит от
.
Таким образом,
.
Докажем, что
норма
подчинена норме
.
Для любых
имеем неравенства
(1)
(первое неравенство следует
из аксиом нормы). Норма
является числовой функцией, определенной
для всех
;
будем писать
.
Можно считать, что независимыми
переменными функции
являются координаты
элемента
в базисе
.
Если величину приращения аргументов
этой функции измерять по евклидовой
норме
,
то (1) означает, что функция
непрерывна в любой точке
относительно нормы
.
Введем множество
– сферу в пространстве
(относительно
нормы
).
Этой сфере соответствует в
сфера
.
Такая сфера в
является замкнутым ограниченным
множеством. Функция
,
непрерывная на замкнутом ограниченном
множестве, достигает на нем своей точной
нижней грани. То есть, существует такой
элемент
,
что
,
а
.
Обозначим
.
Очевидно, что
,
поскольку
(в
силу того, что
).
Заметим, что для любого
,
т.е.
.
Поэтому
.
Отсюда
,
т.е.
.
Это и означает, что норма
подчинена норме
.
Мы доказали, что
в конечномерном пространстве
произвольная норма
эквивалентна евклидовой норме
.
В качестве
выберем теперь либо
,
либо
.
Тогда существуют положительные постоянные
при которых для всех
выполнены неравенства
и
.
Отсюда следует, что
и
эквивалентны.
Замечание.
Если
– бесконечномерное линейное
пространство, то две нормы в нем могут
не быть эквивалентными.
Теорема 14. В конечномерном линейном пространстве сходимость по норме эквивалентна покоординатной сходимости.
Доказательство.
Пусть
– линейное пространство над полем
(
или
),
,
– базис
.
Пусть последовательность элементов
сходится по норме
к элементу
,
т.е.
.
Разложим все
и
по базису
:
,
и
;
все
суть координаты соответствующего
элемента
в базисе
.
Покоординатная сходимость последовательности
к элементу
означает, что для каждого
числовая последовательность
сходится к числу
при
.
В теореме 13 было
доказано, что сходимость по норме
в
эквивалентна сходимости по евклидовой
норме
.
Евклидову норму
в
можно одновременно рассматривать и как
евклидову норму в
:
если
,
то
.
Применим ту же теорему 13 к нормам
и
в пространстве
:
нормы
и
эквивалентны. Отсюда следует, что
в том и только в том случае, если
,
то есть, если
для всех
.
Теорема
15. ( Критерий евклидовости нормы).
Пусть в действительном линейном
пространстве
введена норма
.
Эта норма является евклидовой в том и
только в том случае, если для любых
выполнено равенство
(равенство параллелограмма).
Доказательство.
Необходимость. Пусть
– евклидово пространство со скалярным
произведением
,
и
.
Тогда
и
.
Складывая эти равенства, приходим к
равенству параллелограмма.
Достаточность.
Пусть в действительном линейном
пространстве
норма
введена так, что для любых
выполнено равенство параллелограмма.
Докажем, что в
существует такое скалярное произведение
,
что для всех
.
Введем функцию двух переменных
и докажем, что она удовлетворяет всем
аксиомам скалярного произведения.
Выполнение
аксиомы 1 скалярного произведения
очевидно:
следует из того, что
.
Столь же очевидно
выполнение аксиомы 4: если
,
то
.
Докажем
справедливость аксиомы 2. Для этого
введем функцию трех переменных
и докажем, что
для всех
.
В силу равенства параллелограмма для
элементов
и
. (2)
В силу равенства параллелограмма
для элементов
и
. (3)
Подставим (2) и (3) в правую часть равенства
EMBED Equation.3
, (4)
которое следует из определения
функции
.
Тогда получим
(5)
Еще одно выражение для функции
получим, взяв полусумму (4) и (5):
(6)
В силу равенства параллелограмма
для элементов
и
и в силу равенства параллелограмма для
элементов
и
получаем из (6)
.
Докажем
справедливость аксиомы 3. Для этого
фиксируем произвольные
и
и введем функцию
одной действительной переменной
.
Докажем, что
для всех
вне зависимости от
и
.
Из определения функции
переменных
и
вытекает
и
,
поскольку
.
Отсюда следует, что
для всех
,
где
– целое число. Действительно,
,
и
. Но тогда
для всех рациональных
.
В самом деле, при целых
и
,
,
имеем
.
Осталось заметить, что
– непрерывная функция переменной
.
Из непрерывности
и обращения ее в 0 при всех рациональных
значениях
следует
.
Замечание. Доказанная теорема 15 справедлива как для конечномерных, так и для бесконечномерных линейных пространств.
Задача.
,
.
Какая это норма: евклидова или неевклидова?
Задача.
.
Рассмотрим в этом пространстве нормы
,
и
,
где
,причем
.
Для каждой из этих норм найдите такие
,
для которых не выполняется равенство
параллелограмма.
Задача.
,
.
Какая это норма: евклидова или неевклидова?