2. Унитарное пространство.
Пусть теперь
– комплексное линейное пространство
(поле чисел
).
В нем тоже можно ввести скалярное
произведение. Комплекснозначная функция
двух переменных
называется скалярным произведением,
если выполнены 4 аксиомы:
1.
для всех
(черта над
означает комплексное сопряжение).
2, 3, 4 – те же, что в случае действительного пространства.
Пример.
,
.
Определение. Комплексное линейное пространство со скалярным произведением называется унитарным пространством.
Теорема 4. В унитарном пространстве выполнено неравенство Коши-Буняковского.
(Докажите самостоятельно.)
В унитарном пространстве можно ввести евклидову норму и евклидово расстояние; угол между элементами не вводится.
Различие аксиом скалярного произведения в евклидовом и в унитарном пространствах приводит к следующим правилам:
в евклидовом пространстве
,
;
в унитарном пространстве
,
.
Аксиома 1 скалярного произведения
в унитарном пространстве формулируется
в виде
для того, чтобы могла выполняться аксиома
4.
Пример.
.
Скалярное произведение в
можно ввести по формуле
.
Выражение
не является скалярным произведением в
:
для элемента
(
– мнимая единица) имеем
,
хотя
.
Далее в теме 4 мы будем рассматривать в основном действительные пространства
3. Ортогональность.
Элементы
евклидова пространства называются
ортогональными (перпендикулярными),
если
;
обозначение:
.
Теорема
5. (Теорема Пифагора). Если элементы
евклидова пространства ортогональны,
то
.
(Докажите самостоятельно.)
Система элементов
евклидова пространства (
)
называется ортогональной, если
при всех
.
Система, состоящая из одного элемента,
по определению считается ортогональной.
Очевидно обобщение теоремы Пифагора
на случай системы
элементов (
):
Если система
элементов
евклидова пространства ортогональна,
то
.
(Докажите самостоятельно.)
Любой элемент
можно нормировать, т.е. поставить
ему в соответствие элемент
.
Элементы
и
коллинеарны. Если нормировать все
элементы некоторой ортогональной
системы элементов, то получим новую
систему, которая называется
ортонормированной. Элементы
ортонормированной системы удовлетворяют
условию
Теорема
6. Если ортогональная система
не содержит нулевых элементов, то она
линейно независима.
Доказательство.
Пусть выполнено равенство
;
докажем, что
.
Выберем произвольный элемент
,
.
В силу ортогональности системы
при
;
а поскольку все элементы системы
ненулевые,
.
Поэтому
,
и
.
Доказанное верно для всех
.
Теорема
7. Пусть
– линейно независимая система элементов
евклидова пространства. Тогда можно
построить такую ортонормированную
систему
ненулевых элементов, что
.
Доказательство.
Положим
.
,
поскольку система элементов
линейно независима (см. тему 2). Поэтому
можно нормировать: положим
.
Очевидно, что натянутые на
и на
линейные оболочки совпадают:
.
Положим
.
.
:
иначе бы элемент
линейно выражался через
,
но тогда система элементов
была бы линейно зависимой (см. тему 2).
Элемент
можно нормировать: положим
.
Очевидно,
.
А с другой стороны,
линейно выражается через
,
т.е.
.
Поэтому
.
Положим
.
.
:
иначе бы элемент
линейно выражался через
,
и тогда система
была бы линейно зависимой. Положим
.
.
А с другой стороны,
линейно выражается через
,
т.е.
.
Поэтому
.
Вообще, для
каждого
полагаем
.
Тогда
.
:
иначе бы элемент
линейно выражался через
.
Нормируем элемент
:
положим
.
.
А с другой стороны,
линейно выражается через
,
т.е.
.
Поэтому
.
Докажем, что
попарно ортогональны. Доказательство
проведем индукцией по
.
При
система из одного элемента
ортогональна по определению. Пусть
доказано, что элементы
попарно ортогональны; выведем отсюда
попарную ортогональность элементов
.
Для каждого номера
имеем
в силу того, что
Итак, построенная
система
является ортонормированной, и
.
Следствие.
В конечномерном евклидовом пространстве
существует ортонормированный базис.
Доказательство.
Пусть
,
и
– базис пространства
.
Построим систему элементов
при помощи описанной в теореме 7 процедуры
ортогонализации системы
.
Тогда
.
Особая роль
ортонормированных базисов в евклидовом
пространстве объясняется простотой
разложения в них произвольного элемента
.
Пусть
– ортонормированный базис пространства
,
и
.
Разложение
умножим скалярно на
:
.
Числа
,
,
называются коэффициентами Фурье
элемента
по ортонормированному базису
.
Если
,
где
,
,
то
.
В частности,
.
Пример.
,
.
Тогда одним из ортонормированных базисов
будет
,
,
.
Ортонормированный базис – это обобщение понятия декартовой прямоугольной системы координат.
Пусть
и
– множества элементов евклидова
пространства
.
и
называются ортогональными (
),
если для любых элементов
и
.
В частности, элемент
ортогонален множеству
(
),
если для любого
.
В процессе ортогонализации системы
в
теореме 7 мы на каждом шаге строили
элемент
.
Теорема
8. Пусть
– подпространство евклидова пространства
,
,
и
– базис подпространства
.
Пусть
.
в том и только в том случае, если
для всех
.
(Докажите самостоятельно.)
Теорема
9. Пусть
и
– подпространства евклидова пространства
,
,
,
,
– базис подпространства
,
– базис подпространства
.
в том и только в том случае, если
для всех
и
.
(Докажите самостоятельно.)
Образуем сумму
подпространств
и
евклидова пространства
.
означает, что любой элемент
можно представить в виде
,
где
,
.
Если
и
– подпространства, то и
– подпространство в
.
Рассмотрим случай, когда
;
в этом случае сумма
называется ортогональной суммой
подпространств
и
(обозначение:
).
означает, что любой элемент
можно
представить в виде
,
где
,
,
.
Теорема
10. Пусть
и
– ненулевые подпространства евклидова
пространства
,
и
.
Тогда
является прямой суммой этих
подпространств.
(Докажите самостоятельно.)
Если евклидово
пространство
конечномерно, и
– его ортогональный базис, то
.
Можно и другими способами представить
в виде ортогональной суммы своих
подпространств, не обязательно размерности
1.
Определение.
Пусть
– подпространство евклидова пространства
.
Множество всех элементов
,
ортогональных к
,
называется ортогональным дополнением
подпространства
.
Обозначение:
.
Очевидно, что
является подпространством пространства
.
Действительно, если
и
,
то и любая их линейная комбинация
.
А это и значит, что
– подпространство. Ясно также, что
.
Теорема
11. Пусть
– произвольное подпространство
конечномерного евклидова пространства
.
Тогда
.
(Без доказательства. Доказательство см. в [3].)
Теорема 11
означает, что всякий элемент
можно единственным способом представить
в виде
,
где
,
;
– ортогональная проекция элемента
на подпространство
,
а
– нормаль (перпендикуляр) к подпространству
.
Очевидно, что
и
.
В процедуре
ортогонализации ( см. теорему 7) мы всякий
раз строили разложение очередного
элемента
:
,
где
.
Ортогональную проекцию
элемента
на подпространство
мы раскладывали по ортонормированному
базису
этого подпространства:
.
Коэффициенты
этого разложения суть коэффициенты
Фурье элемента
по ортонормированному базису
подпространства
.
– ортогональная к
составляющая элемента
.
На каждом шаге оказывалось, что
.
Пронормировав
,
мы получали
и добавляли
к уже имеющейся ортонормированной
системе.
Определение.
Пусть
– точка евклидова пространства
,
а
– некоторое множество его элементов.
Расстоянием от точки
до множества
называется число
.
Задача.
Пусть
– подпространство конечномерного
евклидова пространства
.
Найти расстояние от фиксированной точки
до
.