- •11 Метод Гаусса
- •12 Однородные системы линейных уравнений и их решение
- •16.Скалярное произведение векторов.
- •17. Векторное произведение векторов.
- •60. Дифференциал длины дуги. Кривизна линий.
- •29. Линии второго порядка
- •30. Поверхности второго порядка.
- •Определение и геометрический смысл производной
- •Алгебра производных
- •Особые случаи
- •Теоремы Ферма и Ролля
- •Формулы Коши и Лагранжа
- •Дифференциал
- •Теорема о дифференцируемости функций
- •Правила дифференцирования
- •Формула Тейлора в общем случае. Свойства остаточного члена.
- •Остаточный член формулы Тейлора в формуле Пеано
- •Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
- •Разложение в ряд Тейлора некоторых функций
- •(Проекция суммы равна сумме проекций);
- •(Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).
- •Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе
- •2.1 Непрерывность функции
- •2.4 Теоремы о непрерывных функциях
Правила дифференцирования
Пользуясь формулой выведем несколько важных формул, касающихся дифференциалов.
1.
Действительно
2.
Имеем
3.
Имеем
4.
Имеем
.
5.
Имеем
В качестве приложения понятия дифференциала выведем формулу для производной от функций заданных параметрически.
Параметрическое задание функции заключается в том, что и и задаются как функции некоторого параметра , т.е.
,
Значение параметра определяет одновременно и и , и, тем самым, некоторую точку на плоскости. Меняя мы двигаем точку на плоскости и она описывает некоторую кривую, определяющую зависимость от . Параметрическое задание функции считается самым общим способом задания кривых на плоскости.
Имеем
Отсюда производная от по имеет вид
Сокращая на получим окончательно
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть имеется функция, от которой мы вычислили первую производную . Но снова является функцией и от нее можно тоже вычислить производную. Производная от первой производной т.е. называется второй производной и обозначается :
Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной
.
Аналогично определяются производные более высоких порядков. Отметим только, что производные более высоких порядков отмечаются не штрихами (их было бы слишком много) а цифрами, заключенными в скобки - , и т.д.
Итак, производная n-го порядка определяется как производная от производной (n-1)-го порядка
Основные формулы, касающиеся производных высших порядков, следующие:
1.
2.
3.
Первые две формулы очевидны. Третью формулу, носящую название формулы Лейбница, мы доказывать не будем. При ее применении следует только иметь ввиду, что производной нулевого порядка считается сама функция, т.е. .
Аналогично этому, дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, т.е.
Выведем формулу для . Имеем
При дальнейшем преобразовании следует иметь в виду, чтоdx, совпадающее с приращением аргументаdx, есть величина, совершенно не зависимая от , т.к. мы можем взять каким угодно. Поэтому по отношению к x dx
.
Скобки у обычно не пишут
Отсюда
Аналогично, дифференциал третьего порядка определяется как дифференциал от второго дифференциала
Имеем
так что
;
В общем случае
Легко показывается по индукции, что
; .
Формула Тейлора в общем случае. Свойства остаточного члена.
Пусть теперь имеется некоторая произвольная функция , у которой в точке существуют , , , , . Для нее тоже можно написать комбинацию
=
но теперь, очевидно, уже нельзя утверждать, что , ведь - не полином. Введем, поэтому, функцию и будем писать
=.
Функцию будем называть остаточным членом, а саму формулу - формулой Тейлора для функции . Самая главная задача теперь - сказать что-то о свойствах , а еще лучше - как-то оценить его. Тогда можно будет использовать для приближенного вычисления функции .
Напишем в явном виде
=
Полагая , получим
Далее, находя производные и полагая , получим
=
=
=
.
Таким образом, остаточный член в формуле Тейлора обладает следующим основным свойством