![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •11 Метод Гаусса
- •12 Однородные системы линейных уравнений и их решение
- •16.Скалярное произведение векторов.
- •17. Векторное произведение векторов.
- •60. Дифференциал длины дуги. Кривизна линий.
- •29. Линии второго порядка
- •30. Поверхности второго порядка.
- •Определение и геометрический смысл производной
- •Алгебра производных
- •Особые случаи
- •Теоремы Ферма и Ролля
- •Формулы Коши и Лагранжа
- •Дифференциал
- •Теорема о дифференцируемости функций
- •Правила дифференцирования
- •Формула Тейлора в общем случае. Свойства остаточного члена.
- •Остаточный член формулы Тейлора в формуле Пеано
- •Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
- •Разложение в ряд Тейлора некоторых функций
- •(Проекция суммы равна сумме проекций);
- •(Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).
- •Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе
- •2.1 Непрерывность функции
- •2.4 Теоремы о непрерывных функциях
2.4 Теоремы о непрерывных функциях
Ниже приводятся формулировки основных теорем о непрерывных функциях.
Первая теорема Больцано-Коши.
Пусть
f(x)
определена и непрерывна на замкнутом
отрезке [a,
b]
и на концах этого отрезка принимает
разные по знаку значения. Тогда
такая, что f(c)
= 0.
Вторая теорема Больцано-Коши.
Пусть
f(x)
определена и непрерывна на отрезке
и
,
.
Тогда
.
Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть
f(x)
определена и непрерывна на замкнутом
отрезке [a,
b].
Тогда существуют конечные
m
и
M
такие,
что
.
Другими словами, функция, непрерывная на замкнутом отрезке, ограничена на этом отрезке и сверху и снизу.
Вторая теорема Вейерштрасса.
Пусть
f(x)
определена и непрерывна на замкнутом
отрезке [a,
b].
Тогда
,
такие, что
,
.
Другими словами, непрерывная функция, определенная на замкнутом отрезке, достигает в нем своих супремума и инфимума.
2.5 Обратная функция
Пусть
функция f(x)
определена на отрезке [a,
b]
и ее значения принадлежат отрезку [c,
d].
Если
(символ
читается «существует одно и только
одно») такое, что y
= f(x),
то говорят, что на отрезке [c,
d]
определена функция
,
обратная
к функции f(x).
Только
обычно при записи обратной функции
меняют местами переменные x
и y
и
записывают ее в обычной форме
.
Основное свойство обратной функции имеет вид
.
Теорема.
Пусть
f(x)
строго монотонно возрастает и непрерывна
на [a,
b].
Тогда на интервале [c,
d],
где c=f(a),
d=f(b)
существует непрерывная
строго монотонно возрастающая обратная
функция
.
2.6 Замечательные пределы
С использованием непрерывности функций можно вывести целый ряд пределов, которые получили общее название замечательных пределов. Ниже приводятся наиболее важные из них.
1. .
2.
3. .
4. .
5. .
6.
при a>1
и m>0.
7.
при a>1
и m>0.
8.
при a>1
и m>0.