Теоретический материал

Момент силы F относительно точки есть вектор, равный

,

где r – радиус-вектор, проведенный из точки, относительно которой рассматривается момент силы F, к точке приложения силы.

Моментом нескольких сил относительно точки называется сумма моментов этих сил относительно той же точки.

Аналогично определяется момент импульса материальной точки относительно неподвижного начала:

.

Момент силы и момент импульса связаны между собой соотношением, которое называется уравнением моментов:

,

где N – геометрическая сумма моментов внешних сил, действующих на систему материальных точек.

Если момент внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю (N=0), то момент импульса системы относительно того же начала остается постоянным во времени (М=const) – закон сохранения момента импульса. В частности, момент импульса сохраняется для замкнутой системы материальных точек.

Моментами силы и импульса относительно произвольной оси называются проекции на эту ось их моментов относительно точки, лежащей на той же оси.

Моментом инерции системы относительно оси называется величина I, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения:

.

Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление его момента инерции сводится к вычислению интеграла

,

где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела.

Основное уравнение динамики вращательного движение вокруг неподвижной оси:

,

где ω – угловая скорость вращения. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. Роль массы играет момент инерции I, роль скорости – угловая скорость ω, роль силы – момент силы N, роль импульса – момент импульса M=Iω. Момент импульса М часто называют вращательным импульсом системы. Если момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс Iω сохраняется.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде:

.

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной ma², где а –расстояние между осями

.

Примеры решения задач.

1. Шайба A массы m, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v, испытала в точке О (рис.5.1) абсолютно упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен . Найти: а) точки, относительно которых момент импульса M шайбы остается постоянным в этом процессе; б) модуль приращения вектора момента импульса шайбы относительно точки О, которая находится в плоскости движения шайбы на расстоянии l от точки О.

Рис.5.1

Дано:

m, , l, α, v=const

____________________

- ?

Решение:

В первом вопросе спрашивается, относительно каких точек момент импульса М остается постоянным. Из уравнения моментов , где N – момент внешних сил относительно рассматриваемой точки, видно, что М=const, если момент сил N относительно этой точки равен нулю. В процессе движения шайбы ее скорость v=const, поэтому равнодействующая сил, действующих на нее, равна нулю и N=0. Но в момент удара о стенку на шайбу будет действовать сила реакции опоры N_оп .Выберем произвольную точку В и вычислим относительно нее момент сил:

.

Он будет равен нулю, если sinβ=0, или β=π. Т.о., М=const относительно точек прямой, перпендикулярной к стенке и проходящей через т.О.

Найдем приращение ΔМ=М₁-М, а затем его модуль. Момент импульса шайбы относительно точки О’ после удара о стенку(см.рисунок):

.

Вектор М₁ перпендикулярен плоскости, в которой движется шайба, и направлен от нас. По модулю . Момент импульса шайбы относительно точки О до удара о стенку находится аналогично: . Он также перпендикулярен плоскости, в которой движется шайба, но направлен от нас. По модулю . Тогда приращение момента импульса ΔМ=М₁-М=2М₁, а модуль приращения .

2. С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30⁰ с горизонтом, скатывается без скольжения шарик (рис.5.2). Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на h = 30 см.

Дано: α = 300 h = 30 см = 0,3м _______________ t - ?

Решение:

Т.к. трения нет, воспользуемся законом сохранения механической энергии:

,

где - кинетическая энергия поступательного движения шарика, - кинетическая энергия вращательного движения шарика. - момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр, - угловая скорость вращения. Подставив все в закон сохранения энергии, найдем скорость поступательного движения шарика:

.

Поскольку движение шарика равноускоренное, воспользуемся следующими формулами:

.

Выразим время:

.

Воспользовавшись полученным ранее выражением для скорости, получим:

.

Подставив численные значения, имеем: t = 0,585 с.