Список задач

6.1. Частица массы m находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x) = U₀(1-cos ax), U₀ и а – постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

Ответ: .

6.2. Частица массы m находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x) = a/x²-b/x, где а и b – положительные постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

Ответ: .

6.3. Неподвижное тело, подвешенное на пружине, увеличивает ее длину на l = 70 мм. Считая массу пружины пренебрежимо малой, найти период малых вертикальных колебаний тела.

Ответ: =0,52 с.

6.4. Определить период малых продольных колебаний тела массы m в системе, показанной на рис.6.5, если жесткости пружинок равны k₁ и k₂, а их массы и трение пренебрежимо малы. В положении равновесия пружинки не деформированы.

Ответ: .

Рис.6.5 Рис.6.6

6.5. Найти период малых вертикальных колебаний тела массы m в системе, показанной на рис.6.6. Жесткости пружинок равны k₁ и k₂, а их массы пренебрежимо малы.

Ответ: .

6.6. Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины l = 80 см, если в начальный момент маятник: а) отклонили на угол α = 3,0⁰ и без толчка отпустили; б) находился в состоянии равновесия и его нижнему концу сообщили горизонтальную скорость v = 0,22 м/с.

Ответ: а) б).

6.7. Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины l = 80 см, если в начальный момент маятник отклонили на угол α = 3,0⁰, а его нижнему концу сообщили скорость v = 0,22 м/с, направленную к положению равновесия.

Ответ: .

6.8. Тело массы m упало с высоты h на чашку пружинных весов. Массы чашки и пружины пренебрежимо малы, жесткость пружины k. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и их энергию.

Ответ: , .

6.9. Уравнение колебания материальной точки массой m = 16 г имеет вид м. Найти зависимость от времени силы F, действующей на точку и максимальное значение силы.

Ответ: ; F_max = 246 мкН.

6.10. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза W_max = 1 Дж. Амплитуда колебаний А = 5 см. Найти жесткость пружины.

Ответ: k = 2W_max/A² = 800 Н/м.

6.11. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания ₀ = 1,5. Каким будет значение , если сопротивление среды увеличить в n = 2 раза? Во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?

Ответ: = 3,3; = 4,3.

6.12. Найти добротность осциллятора, у которого: а) амплитуда смещения уменьшается в  = 2,0 раза через каждые n = 110 периодов колебаний; б) собственная частота ₀ = 100 с^-1 и время релаксации  = 60 с.

Ответ: а) ; б) = 3000.

6.13. К невесомой пружине подвесили грузик, и она растянулась на x = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания  = 3,1.

Ответ: =0,7 с.

6.14. Тело совершает крутильные колебания по закону . Найти: а) угловую скорость и угловое ускорение тела в момент t = 0; б) моменты времени, когда угловая скорость максимальна.

Ответ: а) ; б) , где n = 0,1,2,…

6.15. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения  = 0,1 лежит брусок массы m = 0,5 кг, соединенный горизонтальной недеформированной пружинкой. Жесткость пружинки k = 2,45 Н/см, а ее масса пренебрежимо мала. Брусок сместили так, что пружинка растянулась на x₀ = 3,0 см, и затем отпустили. Найти: а) период колебаний бруска; б) число колебаний, которое совершит брусок до остановки.

Ответ: а) = 0,28 с; б) .

6.16. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания  = 1,6, начальная фаза  = 0. При t = T/4 смещение точки x = 4,5 см. Написать уравнение движения этого колебания.

Ответ: .

6.17. Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за время t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника l = 1 м.

Ответ: = 0,023.

6.18. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания  = 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

Ответ: n = a₀/a = e^ = 1,22.

6.19. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t₁ = 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время t₂ = 3 мин?

Ответ:

6.20. К вертикально висящей пружинке подвешивают груз. При этом пружинка удлиняется на l = 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания , чтобы логарифмический декремент затухания колебаний был равен  = 6?

Ответ:  = 6,89 с^-1.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Наука, 1988.

2. Сборник задач по общему курсу физики. Механика. Под ред. Яковлева И.А. М.: Наука, 1977.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1. Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2002.

42