3. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.
Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (6)
Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l – событию B и m – одновременно событиям А и B. Отсюда событию А + В благоприятствуют k + l – m элементарных событий. Тогда
Замечание. Если события A и В несовместимы, то их произведение AB есть невозможное событие, и, следовательно, Р (АВ) = 0, т. е. формула (1) является частным случаем формулы (6).
Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны Р(А) = 0,7 и Р(В) = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение: Очевидно, события А и В совместимы и независимы. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,7 ∙ 0,8 = 0,94. Пример 2. Два стрелка стреляют в одну и ту же цель, причем вероятность поражения цели первым стрелком 0,8, а вторым стрелком 0,5. Оба стрелка стреляют по команде (т.е. одновременно) один раз. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним из стрелков?
Решение: Пусть А – попадание в цель первым стрелком, В – вторым стрелком, А + В – поражение цели хотя бы одним стрелком. События А и В совместимы и независимы. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,8 + 0,5 – 0,8 ∙ 0,5 = 0,9.
4. Формула полной вероятности.
Это формула полной вероятности.
В самом деле, событие А может наступить только при условии наступления одного из событий B1, B2, ..., Вn, т. е.
А = В1А + В2А + ... + ВnА,
причем, ввиду несовместимости событий B1, B2, ..., Вn,, события B1A, В2А,..., ВnА также несовместимы. Поэтому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем:
Пример. В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик, относительные доли которых есть: I – 50 %, II – 30 %, III – 20 %. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: I – 2 %, II – 3 %, III – 5 %. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется доброкачественным (событие А)? Решение: Возможны следующие три гипотезы: Н1, Н2, Н3 – приобретенная вещь выработана соответственно на I, II, и III фабриках; очевидно, система этих гипотез полная, причем их вероятности Р(Н1) = 0,5, Р(Н2) = 0,3, Р(Н3) = 0,2. Соответствующие условные вероятности события А равны РН1(А) = 1 – 0,02 = 0,98, РН2(А) = 1 – 0,03 = 0,97, РН3(А) = 1 – 0,05 = 0,95. По формуле полной вероятности имеем Р(А) = 0,5 ∙ 0,98 + 0,3 ∙ 0,97 + 0,2 ∙ 0,95 = 0,971.
5. Формула Байеса.
Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) вероятности гипотез, т. е. величины P(Bk), k = 1, ..., n? Найдем условную вероятность PA(Bk). По теореме умножения вероятностей и формуле (4) имеем
Отсюда
Наконец, используя формулу полной вероятности, находим:
Выше обозначенные формулы называются формулами Байеса (Томас Байес, или Бейес, (1702-1761) –английский математик).
Пример. Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного расчета (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) – 0,1. Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в самолет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчету? Решение. До опыта возможны четыре гипотезы Н1 = АВ, Н2 = АВ, Н3 = АВ, Н4 = АВ; эти гипотезы образуют полную группу событий. Вероятности их, при независимом действии расчетов, соответственно равны Р(Н1) = 0,2 ∙ 0,1 = 0,02, Р(Н2) = 0,2 ∙ 0,9, Р(Н3) = 0,8 ∙ 0,1 = 0,08, Р(Н4) = 0,8 ∙ 0,9 = 0,72, причем Р(Н1) + Р(Н2) + Р(Н3) + Р(Н4) = 1. Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут РН1(С) = 0, РН2(С) = 1, РН3(С) = 1, РН4(С) = 0. Следовательно, гипотезы Н1 и Н4 отпадают; а вероятности гипотез Н2 и Н3 вычисляются по формуле Байеса
Задание: Установите соответствие между основными понятиями теории множеств и теории вероятностей ((заполните второй столбик).
Теория множеств |
Теория вероятностей |
Множество |
|
Объединение |
|
Пересечение |
|
Непересекающиеся множества |
|
Дополнение |
|
Универсальное множество |
|
Пустое множество |
|
Ответ:
Теория множеств |
Теория вероятностей |
Множество |
Случайное событие |
Объединение |
Сумма |
Пересечение |
Произведение |
Непересекающиеся множества |
Несовместные события |
Дополнение |
Противоположное событие |
Универсальное множество |
Достоверное событие |
Пустое множество |
Невозможное событие |
Семинарское занятие № 6
Основы теории вероятностей
Упражнения для самопроверки
1. Игральная кость подбрасывается три раза. Какова вероятность того, что:
а) шестерка не появится ни разу; б) шестерка появится хотя бы 1раз?
Ответ. а) 0,579; б) 0,421.
2. Из 40 экзаменационных вопросов студент выучил 30. Какова вероятность того, что он ответит: а) на три заданных вопроса; б) на 2 из 3 заданных вопросов?
Ответ. а) 0,411; б) 0,440.
3. Из урны с 5 белыми и 7 черными шарами наугад берут 4 шара. Найти вероятности событий: а) взято 2 белых шара; б) взято белых шаров больше, чем черных.
Ответ. а) 0,424; б) 0,162.
4. Из колоды в 36 карт наугад берут 4 карты. Найти вероятности следующих событий: а) все карты имеют одну масть; б) все карты красные; в) все карты – тузы.
Ответ. а) 0,00856; б) 0,0519; в) 0,0000170.
5. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми?
Ответ. 15/28.
6. Из урны с 8 белыми и 4 черными шарами последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность вынуть три белых шара?
Ответ. 0,255.
7. В первой урне 4 белых и 6 синих шаров, во второй 5 белых и 3 синих. Наугад из каждой урны берут по 2 шара. Найти вероятности событий: а) все шары белые; б) все шары одного цвета; в) два шара белые.
Ответ. а) 0,0476; б) 0,0833; в) 0,419.
8. Двое поочередно подбрасывают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет герб. Какова вероятность выигрыша для каждого из игроков?
Ответ. 2/3 – для начинающего; 1/3 – для второго.
9. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Сколько независимых выстрелов необходимо назначить, чтобы вероятность поражения мишени была больше: а) 0,95; б) 0,99; в) 0,999?
Ответ. а) 3; б) 4; в) 5.
10. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие А) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие В) равна 0,8 Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком? (решить задачу двумя способами) Решение. 1 способ. Пусть С – событие, заключающееся в том, что в результате испытания цель будет поражена хотя бы одним из стрелков, т.е. произошло или событие А, или событие В, т.е. С = А + В. События А и В совместимы и независимы. Поэтому Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) Р(С) = 0,9 + 0,8 – 0,9 ∙0,8 = 0,98. 2 способ. Пусть С – событие, заключающееся в том, что в результате испытания цель будет поражена хотя бы одним из стрелков, тогда противоположное событие С – оба стрелка промахнулись. Тогда С = А ∙ В . Т.к. события А и В независимые (при стрельбе один стрелок не мешает другому), то Р(С) = Р(А) ∙ Р(В) = [1 – Р(А)]∙[1 – Р(В)] = (1 – 0,9) ∙ (1 – 0,8) = 0,02. Тогда Р(С) = 1 – Р(С) = 1 – 0,02 = 0,98.
11. В урне 10 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми, равна 2/15. Сколько в урне белых шаров?
12. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,002. Проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найдите вероятность того, что с опечатками окажутся 5 страниц.
Вопросы для контроля.
1. Что называется испытанием?
2. Дайте определение события.
3. Как обозначаются события?
4. Дайте определение совместимых событий.
5. Дайте определение несовместимых событий.
6. Дайте определение противоположных событий.
-
Какое событие называется достоверным?
-
Какое событие называется невозможным?
-
Какое событие называется случайным?
-
Что называется вероятностью события А?
-
Вероятность какого события равна 0?
-
Вероятность какого события равна 1?
-
Назовите, какие значения может принимать вероятность события?
-
Что называется суммой событий?
-
Что называется произведением событий?
-
Чему равна сумма несовместных событий?
-
Чему равна сумма совместных событий?
-
Запишите формулу, по которой вычисляется произведение независимых событий.
-
Запишите формулу, по которой вычисляется произведение зависимых событий.
-
Что называется условной вероятностью?
-
Какие события называются независимыми?
-
Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?
-
Может ли событие быть одновременно и невозможным и достоверным?
-
Входит ли в понятие суммы событий (А+В) событие, состоящее в одновременном наступлении события А и события В?
Упражнения для самостоятельной работы.
Основы теории вероятностей
-
Из урны с 7 красными и 3 синими шарами берут наугад 5 шаров. Какова вероятность того, что все взятые шары окажутся красными?
-
Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превзойдет 6.
-
Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что 2 очка не выпадут ни на одной кости.
-
В урне лежит 8 занумерованных шаров. Наугад берут 4 шара. Найти вероятность того, что среди взятых шаров 3 будут иметь четные номера.
-
Колода из 36 карт раскладывается случайным образом на две части поровну. Какова вероятность того, что все тузы будут в одной части?
-
Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры. Помня лишь, что все цифры различны, он набирает их наугад. Какова вероятность того, что будут набраны нужные цифры?
-
Имеются 4 ящика, в которые наугад бросают шарики. Всего шариков 4. Какова вероятность того, что все шарики окажутся в одном ящике?
-
6 студентов условились ехать в одном электропоезде, но не договорились о вагоне. Какова вероятность того, что все поедут в одном вагоне, если в поезде 10 вагонов?
-
Телефонный номер содержит 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры различны?
-
В ящике лежат 16 лампочек, из которых 6 перегоревших. Наугад берут 4 лампочки. Какова вероятность того, что взятые лампы окажутся хорошими?
-
Из урны, содержащей 4 синих, 3 красных и 2 зеленых шара, наугад выбирают 2 шара. Какова вероятность выбрать 2 шара одного цвета?
-
Из партии в 60 деталей, содержащей 5 % брака, наугад выбирают 3 детали. Какова вероятность того, что в выборку попадет не более одной бракованной детали?
-
Из колоды в 32 карты наугад берут 3 карты. Какова вероятность того, что не менее двух карт будут иметь одну масть?
-
В партии 30 деталей, из них 5 нестандартных. Наугад взято 4 детали. Какова вероятность того, что среди взятых деталей более двух стандартных?
-
Из колоды в 52 карты наугад берут 4 карты. Какова вероятность того, что среди взятых карт не меньше двух тузов?
-
В лотерее 30 билетов, из которых 5 выигрышных. Какова вероятность получить более одного выигрышного билета, взяв наудачу 4 билета?
-
Из урны с 4 белыми, 2 синими и 5 черными шарами берут наугад 4 шара. Какова вероятность того, что взятых больше половины шаров окажутся черными?
-
Из урны, содержащей 6 белых и 6 черных шаров, наугад берут 4 шара. Какова вероятность того, что белых шаров окажется больше, чем черных?
-
Из партии в 100 деталей, содержащей 5 % брака, берут для проверки 5 деталей. Партия принимается, если среди проверяемых не более одной бракованной детали. Найти вероятность приема партии.
-
Из ящика, в котором лежат 3 красных, 5 зеленых и 5 синих шаров, наугад берут 3 шара. Какова вероятность того, что выбранные шары не будут одного цвета?