Свойства вероятности

1. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (1)

Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприят­ствуют k элементарных событий, событию В – l элементарных событий. Так как А и В – несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U₁, U₂,  ..., U_n не может одновремен­но благоприятствовать и событию А, и событию В. Следователь­но, событию А + В будет благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероятности имеем:

откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных собы­тий А и ^А равна единице:

Р(А) + Р(^А) = 1. (2)

Так как события А и ^А несовместимы, то по доказанной те­ореме Р(А) + Р(^А) = Р(А + ^А). Событие А + ^А есть достоверное событие (либо одно из событий А или ^А произойдет). Поэтому Р(А + ^А) = 1, что и приводит к искомому соотношению (2).

Пример. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих, 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынуть красный шар Р(А) = 3/10, синий Р(В) = 5/10. Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 3/10 + 5/10 = 0,8.

2. Теорема умножения вероятностей.

Определение. Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми. (Несколько событий А₁,...,A_k называются независимыми в совокупности, если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли ли какие-либо другие рассматриваемые события или нет).

Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А – вынут белый шар. Очевидно, Р(А) = 1/2. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В – во втором испытании вынут белый шар – также имеет вероятность Р(В) = 1/2, т. е. события А и В независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается (Р(В) = 1/3); если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается (Р(В) = 2/3). Здесь вероятность события В зависит от появления или непоявления события А, т. е. события А и В зависимые.

Определение. Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью Р_А(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило. Так, в примере (1) Р_А(В) = 1/3.

Заметим, что если события А и В независимые, то Р_А(В) = Р(В).

Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) (3)

Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, и пусть из этих k событий l благоприятствуют событию В, а значит, и событию AВ. Тогда

что и доказывает искомое равенство (3).

Замечание. Применив формулу (3) к событию ВА, получим: Р(ВА) = Р(В)Р_В(А).

Так как AВ = ВА, то получаем, что Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А) (4)

Пример 2. В условиях примера 1 берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белый шар?

По формуле (3) имеем:

Пример 3. В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров, отличающихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что сначала вынимают (не глядя) один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что оба вынутых шара черные? Решение: Событие А – появление первого черного шара, его вероятность Р(А) = 5/12. Событие В – появление второго черного шара (при условии, что первый шар был черным), его вероятность Р_А(В) = 4/11, так как перед выниманием второго шара осталось 11 шаров, из них 4 черных. Событие С – вынуты два черных шара подряд, состоит в том, что произошло и событие А, и событие В. Его вероятность вычисляется по формуле: Р(ВА) = Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А). Таким образом, Р(С) = 5/12 ∙ 4/11 = 5/33 0,152.

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна Р(АВ) = Р(А)Р(В). (5)

Действительно, если А и B – независимые события, то Р_А(В) = Р(В) и формула (3) превращается в формулу (5).

Отметим, что в случае независимости событий эта теорема распространяется на любое конечное их число.

Пример 3. Найти вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) – 0,7.

События А и В независимы, поэтому по теореме 2 искомая вероятность

Р(АВ) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56.