- •Определители n-го порядка.
- •Обратная матрица.
- •Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •Произвольная система линейных уравнений.
- •Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •Линейное пространство
- •Размерность и базис линейного пространства
- •Скалярное произведение векторов
- •Скалярное произведение в координатной форме
- •Векторное произведение векторов.
- •Векторное произведение в координатной форме
- •Смешанное произведение векторов.
- •Аналитическая геометрия Простейшие задачи аналитической геометрии
- •Полярная система координат
- •Формулы преобразования системы координат
- •1. Параллельный перенос
- •Поворот осей координат
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Угол между двумя прямыми в пространстве
- •Асимптоты гиперболы
- •Эксцентриситет гиперболы, фокальные радиусы гиперболы
- •Парабола
- •Общие свойства кривых второго порядка
- •Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду
Асимптоты гиперболы
Опр.: Прямая l называется асимптотой кривой с, если расстояние от точек кривой до прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точек по кривой.
Покажем, что прямые являются асимптотами гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы, фокальные радиусы гиперболы
Опр.: Эксцентриситет гиперболы – отношение фокусного расстояния к действительной оси.
Парабола
Опр. Парабола – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки - фокуса и от данной прямой - директрисы.
y
N M(x,y)
B() 0 x F()
Пусть p - расстояние от фокуса до директрисы, т.е. BF=p, тогда, если ось ординат проходит через середину BF,то т.F имеет координаты () , а т.B().
Обозначим FM=r, a NM=d
Т.к. y входит в уравнение в четной степени, то график функции симметричен относительно OX.
Если х=0, у=0
Если
p>0, ветви вправо
p<0, ветви влево
- уравнение параболы
Общие свойства кривых второго порядка
Отношение расстояний от произвольной точки кривой второго порядка до фокуса и до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.
Доказательство:
r – расстояние до соответствующего фокуса
d – расстояние до соответствующей директрисы
Первый случай для эллипса.
(т.М - произвольная)
Второй случай для гиперболы.
(т.М - произвольная)
Третий случай для параболы.
Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду
Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
1. если,то кривая центральная, (эллиптического или гиперболического вида);
2.если , то кривая не центральная (параболического вида);
Приведение к каноническому виду состоит в применении формул преобразования координат, т.е. параллельный перенос и поворот осей координат на .
Общим методом для кривых второго порядка является:
1) совершить поворот осей координат;
2) затем параллельный перенос.
Совершим поворот осей координат:
Подберем угол поворота такой, чтобы исчез член, содержащий , для этого приравниваем нулю коэффициент при :
Совершим параллельный перенос, применяя формулы параллельного переноса:
Подберем a и b такие, чтобы исчезли члены со штрихами:
Найденные значения подставим в свободный член, получим:
Возможны следующие варианты:
Замечание:
1. Если кривая центральная, т.е. , то лучше сначала сделать паралельный перенос, затем поворот осей координат.
2. Если кривая не центральная , то лучше сначала сделать поворот осей координат, потом параллельный перенос.