![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Определители n-го порядка.
- •Обратная матрица.
- •Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •Произвольная система линейных уравнений.
- •Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •Линейное пространство
- •Размерность и базис линейного пространства
- •Скалярное произведение векторов
- •Скалярное произведение в координатной форме
- •Векторное произведение векторов.
- •Векторное произведение в координатной форме
- •Смешанное произведение векторов.
- •Аналитическая геометрия Простейшие задачи аналитической геометрии
- •Полярная система координат
- •Формулы преобразования системы координат
- •1. Параллельный перенос
- •Поворот осей координат
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Угол между двумя прямыми в пространстве
- •Асимптоты гиперболы
- •Эксцентриситет гиперболы, фокальные радиусы гиперболы
- •Парабола
- •Общие свойства кривых второго порядка
- •Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду
Произвольная система линейных уравнений.
А – матрица СЛУ
В – расширенная матрица СЛУ
Тh: Кронекера - Капелли
Для того чтобы произвольная система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы r(A)=r(B).
Примечание: r(A) ≤ r(B).
Доказательство:
(необходимость)
Дано: Система совместна.
Доказать: r(A)=r(B)
Так
как система совместна, то существует
совокупность значений неизвестных
,
которые при подстановке обращает каждое
уравнение в тождество.
;
(*)
Рассмотрим расширенную матрицу В
Первый столбец умножим на (-с1), второй – на (-с2), и так далее – n-столбец умножим на (-сn) и сложим с последним столбцом. При этом ранг матрицы не изменится.
(в
силу соотношения (*))
Имеем, что r(B)=r(B1), r(B1)=r(А), следовательно, r(B)=r(А).
(достаточность)
Дано: r(A)=r(B)=r
Доказать, что система совместна.
Согласно r(A)=r(B)=r, наивысший порядок отличного от нуля минора равен r. Для определенности предположим, что этот минор расположен в левом верхнем углу матрицы А. Тогда систему можно переписать в следующем виде:
Тогда последние (m-r) (т.к. ранг матрицы равен r) уравнений являются следствием первых r уравнений, их можно опустить. Тогда система перепишется в виде:
Возможны 2 случая:
-
r=n (ранг матрицы равен числу неизвестных), тогда система примет вид:
Определителем этой системы является минор r-того порядка, который по условию не равен нулю, так как r(A)=r(B)=r
Следовательно, по т. Крамера эта система совместна и имеет единственное решение.
2. r <n, т.е ранг матрицы меньше числа неизвестных, тогда система имеет вид:
;
;
Назовем x1, x2…xr- базисными переменными,
xr+1, xr+2…xn- свободными переменными.
Присваивая
свободным переменным произвольные
значения(xr+1=c1,
xr+2=c2,…,xn=cn-r),
мы получаем систему, в которой определитель
Mr0
(по условию)
система совместна, но имеет множество
решений.
Вывод: при исследовании произвольной системы линейных уравнений, имеем следующие случаи:
1.
r
(A)
r(B)
– СЛУ решений не имеет.
2. r (A) =r (B)=n – СЛУ имеет 1 (единственное) решение.
3. r (A) = r (B) < n – СЛУ имеет множество решений.
Лекция 4
Векторная алгебра.
Опр.: Векторной величиной называется всякая величина, обладающая направлением.
Скалярной величиной называется всякая величина, не обладающая направлением.
Например, сила, действующая на материальную точку, есть векторная величина. Скорость материальной точки – векторная величина. Температура тела – скалярная величина, так как с этой величиной не связано никакое направление. Масса и плотность тела – тоже скалярные величины.
Опр.: Вектор - направленный отрезок.
АВ,
А - начало вектора.
В - конец вектора.
Длина
вектора – его модуль, обозначается
или
.
Начало вектора называется точкой
приложения. Нулевой вектор – вектор,
начало и конец которого совпадают, его
направление не определено.
Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице.
Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Нулевой вектор коллинеарен с любым вектором.
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и длины, называются равными.
Два вектора, имеющие равные модули, и противоположные по направлению, называются противоположными.
Действия над векторами.
Опр. Суммой векторов a и b называется вектор с, полученный следующим образом:
OM=OL+LM, c=a+b, т.е. с равен сумме векторов a и b – правило треугольника.
Свойства:
1.
+(-
)=0
2.
+
=
+
- свойство переместительности.
Правило параллелограмма:
Если слагаемые a и b не коллинеарны, то сумму векторов a и b можно найти следующим способом: из любой точки строим векторы a=ОА и b=OB и достраиваем до параллелограмма OACB. Вектор с=ОС и есть сумма a и b.
Вычитание векторов:
Вычесть вектор a1 (вычитаемое) из вектора a2 (уменьшаемое) значит найти новый вектор x (разность), который в сумме с вектором a1 даст вектор a2.
Умножение вектора на число.
Произведение
на
скаляр ≠0=
,
называется
,направлен
в ту же сторону,
что и
вектор
,
если
и
направленный в противоположную сторону,
если
и
имеющий длину
.
Свойства умножения вектора на число:
1.
,
є R.
2.
,
є R.
3.
Проекция
вектора
на ось n.
В
пространстве заданы вектор
и ось n.
Пусть А1
- проекция точки А
на ось n,
В1
– проекция точки В
на ось n.
В
А
n
А1 В1
Алгебраической
проекцией
на ось n
называется величина направленного
отрезка (моуль) А1В1,
взятого со знаком «+», если направления
совпадают, и со знаком «-», если не
совпадают. Проекция
на n
обозначается пр.n
.
Очевидно, что если
угол
- острый, т.е. направление вектора А1В1
совпадает
с направлением оси n,
то пр.n
=
,
а если
- тупой, т.е. направление А1В1
противоположно
n,
то
пр.n
=-
.
Th: (о проекциях).
Th1:
пр=
cos
1.
-
острый угол.
В
А С
n
А1 В1
прn=
cos
2.
-
тупой угол.
В
А
С
n
В1 А1
3.
=
,
,
но, с другой стороны,
,
следовательно,
Th2:
(1)
,
(т.е.
направлены в одну сторону), то
(2)
,
то есть
и
направлены в противоположные стороны.
Th3:
+
M1 M2 M3
,
но по чертежу
,
следовательно,
Линейные операции над векторами в координатной форме.
Рассмотрим в
пространстве декартову прямоугольную
систему координат. Радиус-вектором т.
М называется вектор
,
точка приложения которого совпадает с
началом координат.
Z
M
z
x o y Y
X
- радиус-вектор т.
М.
Координаты вектора
называются проекции вектора на
координатные оси и обозначаются
Обозначим через
углы, образуемые вектором
с координатными осями. Косинусы этих
углов называются направляющим косинусами
вектора, т.е.
- направляющие косинусы вектора
,
тогда
,
тогда
(
- квадрат длины диагонали прямоугольного
параллелепипеда).
Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам: