Тема 3.4. Численное дифференцирование.

1. Численное решение дифференциальных уравнений.

2. Метод Эйлера.

Пункт 1. Численное решение дифференциальных уравнений.

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.

Точное (аналитическое) решение (общее или частное) дифференциального уравнения подразумевает получение искомого решения (функции y(x)) в виде выражения от элементарных функций. Это возможно далеко не всегда даже для уравнений первого порядка.

Численное решение ДУ (частное) заключается в вычислении функции y(x) и ее производных в некоторых заданных точках , лежащих на определенном отрезке. То есть, фактически, решение ДУ n-го порядка вида получается в виде следующей таблицы чисел (столбец значений старшей производной вычисляется подстановкой значений в уравнение):

X	y	y'		y(n-1)
x1	y(x1)	y'(x1)	…	y(n-1)(x1)
x2	y(x2)	y'(x2)	…	y(n-1)(x2)
xN	y(xN)	y'(xN)	…	y(n-1)(xN)

Например, для дифференциального уравнения первого порядка таблица решения будет представлять собой два столбца – x и y.

Множество значений абсцисс  в которых определяется значение функции,  называют сеткой, на которой определена функция y(x). Сами координаты при этом называют узлами сетки. Чаще всего, для удобства, используются равномерные сетки, в которых разница между соседними узлами постоянна и называется шагом сетки или шагом интегрирования дифференциального уравнения

    или   ,    i = 1, …, N

Для определения частного решения необходимо задать дополнительные условия, которые позволят вычислить константы интегрирования. Причем таких условий должно быть ровно n. Для уравнений первого порядка – одно, для второго - 2 и т.д.

Рассмотрим основной численный метод решения задачи Коши (начальной задачи) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Запишем данное уравнение в общем виде, разрешенном относительно производной (правая часть уравнения не зависит от первой производной):

Необходимо найти значения функции y в заданных точках сетки , если известны начальные значения , где   есть значение функции y(x) в начальной точке x0.

Преобразуем уравнение умножением на dx

И проинтегрируем левую и правую части между i-ым и i+1-ым узлами сетки.

Получили выражение для построения решения в i+1 узле интегрирования через значения x и y в i-ом узле сетки. Сложность, однако, заключается в том, что интеграл в правой части есть интеграл от неявно заданной функции, нахождение которого в аналитическом виде в общем случае невозможно. Численные методы решения  ОДУ различным способом аппроксимируют (приближают) значение этого интеграла для построения формул численного интегрирования ОДУ.

Пункт 2. Метод Эйлера.

Из множества разработанных для решения ОДУ первого порядка методов рассмотрим метод Эйлера. Он достаточно прост и дает начальное представление о подходах к решению данной задачи в рамках численного решения задачи Коши.

Итак, суть метода Эйлера заключается в том, что необходимо найти значения функции y в заданных точках сетки , если известны начальные значения , где   есть значение функции y(x) в начальной точке x₀.

Рассмотрим метод Эйлера при решении дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке .

Правило вычисления значений функции методом Эйлера:

1. Разбиваем отрезок на n равных частей точками , где и - шаг интегрирования.

2. Вычисляем вспомогательное значение искомой функции в точках с помощью формулы .

3. Находим значение правой части уравнения в средней точке и определяем .

Метод Эйлера обладает малой точностью. Погрешность вычислений в методе Эйлера зависит от шага h, она пропорциональна шагу h в первой степени, поэтому метод Эйлера является методом первого порядка точности.

Пример 16.

Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение при начальных условиях на отрезке . Вычисления производить с точностью .

Решение:

	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)
0	0	1.5000	1.5000	0.1875	0.1250	1.6875	1.5625	0.3906
1	0.25	1.8906	1.6406	0.2051	0.3750	2.0957	1.7204	0.4302
2	0.50	2.3208	1.8208	0.2276	0.6750	2.5484	1.8734	0.4684
3	0.75	2.7892	2.0392	0.2549	0.8750	3.0441	2.1691	0.5423
4	1.00	3.3315	2.3315	0.2914	1.1250	3.6229	2.4974	0.6243
5	1.25	3.9558	2.7058	0.3382	1.3750	4.2940	2.9190	0.7298
6	1.50	4.6856

В данном примере ответом является полностью заполненный второй столбец.

Таблица заполняется построчно в следующем порядке:

Строчка с номером 0:

1. по условию

2. по условию

3. (2)-(1) (в зависимости от данного дифференциального уравнения)

4. (3)

5. (1)+

6. (2)+(4)

7. (6)-(5) (в зависимости от данного дифференциального уравнения)

8. (7)

Строчка с номером 1:

1. 

2. (2)+(8) из предыдущей строчки

Далее вычисления проводятся по той же схеме.

Пример 17.

Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение при начальных условиях на отрезке . Вычисления производить с точностью .

Решение:

0	0,8	1,4	1,34873	0,06744	0,85	1,40674	1,39474	0,13947
1	0,9	1,53947	1,36375	0,06819	0,95	1,54629	1,40948	0,14095
2	1,0	1,68042	1,37330	0,06867	1,05	1,68729	1,41879	0,14188
3	1,1	1,82230	1,37850	0,06893	1,15	1,82919	1,42382	0,14238
4	1,2	1,96468	1,38056	0,06903	1,25	1,97158	1,42576	0,14258
5	1,3	2,10726	1,38065	0,06903	1,35	2,11416	1,42579	0,14258
6	1,4	2,24984	1,37992	0,06900	1,45	2,25674	1,42504	0,14250
7	1,5	2,39234	1,37945	0,06897	1,55	2,39924	1,42461	0,14246
8	1,6	2,53480	1,38023	0,06901	1,65	2,54170	1,42547	0,14255
9	1,7	2,67735	1,38318	0,06916	1,75	2,68427	1,42854	0,14285
10	1,8	2,82020

27