- •Численные методы,
- •Введение
- •1. Абсолютная и относительная погрешности.
- •1.1. Число верных знаков приближенного числа
- •1.2. Погрешность функций
- •1.3. Погрешность простейших функций двух переменных
- •1.4. Примеры и задания
- •2. Приближение функций
- •2.1. Интерполяционные полиномы
- •2.2. Интерполяционный полином Лагранжа
- •2.3. Интерполяционный полином Ньютона
- •2.3. Примеры и задания для практических занятий
- •Второй интерполяционный полином Ньютона:
- •3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений
- •3.1. Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений
- •3.2. Метод хорд и секущих
- •3.3. Метод касательных
- •Скорость сходимости итерационных методов
- •Условие выхода из вычислительного процесса по заданной точности в методах простой итерации
- •Пример и задание для практических занятий
- •4. Численное интегрирование
- •4.1. Метод Ньютона – Котеса
- •4.2. Метод прямоугольников.
- •4.3. Метод трапеций
- •4.4. Метод парабол. (Метод Симпсона)
- •4.5. Квадратурные формулы Гаусса
- •4.6. Задание для практических занятий
- •Численные методы линейной алгебры
- •5.1. Численное решение слау
- •5.2. Прямые методы решения слау
- •5.2.1. Метод Гаусса (Метод исключений)
- •5.2.2. Вычислительная схема метода Гаусса
- •5.2.3. Ортогонализация матриц
- •5.2.4. Решение системы уравнений методом ортогонализации
- •5.3. Итерационные методы решения слау
- •5.3.1. Метод простой итерации
- •5.3.2. Метод Якоби и метод Зейделя
- •5.3.3. Метод оптимального спектрального параметра (осп) для простой итерации
- •5.4. Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц
- •5.5. Примеры и задания к теме
- •5.5.1. Прямые методы решения слау
- •5.5.2. Итерационные методы решения слау
- •5.5.3. Нахождение собственных значений и векторов
- •6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1. Метод разложения в ряд Тейлора
- •6.2. Общая схема метода Рунге - Кутта
- •6.3 Методы Рунге-Кутта низших порядков
- •6.3.1 Метод Эйлера
- •6.3.2. Метод трапеций и прямоугольника
- •6.4. Методы Рунге-Кутта высших порядков
- •6.5. Задание к теме и пример решения оду
- •Численное решение начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных
- •Конечные разности.
- •Гиперболические уравнения
- •Параболические уравнения
- •Уравнения эллиптического типа
- •7.4.1. Разностная схема уравнений
- •Лабораторные задания к теме «Численное решение уравнений в частных производных»
- •7.5.1. Гиперболические уравнения
- •7.5.2. Параболические уравнения
- •7.5.3. Эллиптические уравнения
- •Литература
- •Содержание
-
Параболические уравнения
Данный тип уравнений рассмотрим на примере одномерного нестационарного уравнения теплопроводности (7.3.1) с граничными (7.3.2) и начальными условиями (7.3.3), описывающего процесс установления температуры в изолированном стержне, имеющем на концах постоянную температуру и и заданное начальное распределение температуры вдоль стержня : , (7.3.1)
, , (7.3.2)
(7.3.3)
Для аппроксимации уравнения (7.3.1) используем конечные разности (7.1.2) и (7.1.4)
Обозначим . После преобразований получаем явную четырехточечную сеточную схему, в которой значение функции на слое по времени выражается через три соседних значения на нижнем, -ом слое:
(7.3.4)
Формула (7.3.4) позволяет последовательно найти все значения сеточной функции, начиная со слоя , на котором заданы начальные условия (7.3.3). Однако вычисления по этой формуле устойчивы только в том случае, если выполняется условие . Это накладывает жесткие ограничения на шаг сетки по времени, обязывая выбирать этот шаг намного меньшим, чем шаг по пространственной координате, что существенно увеличивает время расчета и ограничивает применимость явной схемы.
Для аппроксимации уравнения (7.3.1) может быть использована левая конечная разность (7.1.2)
, что приводит к неявной четырёхточечной разностной схеме , (7.3.5) которая устойчива при любых соотношениях шагов сетки.
Из (7.3.5) следует, что для каждого слоя по времени значения неизвестной сеточной функции , связаны СЛАУ с трехдиагональной матрицей. В этой матрице на главной диагонали находится значение , а на двух соседних диагоналях -. Значение на главной диагонали близко к , т.к. значение , как правило, . Вектор в правой части (7.3.5)(при постоянном значении ) известен из вычислений на предыдущем шаге по времени и входит в правую часть СЛАУ.
Последовательно решая СЛАУ (7.3.5), начиная со слоя , можно вычислить сеточную функцию во всей области решения. Система (7.3.5) может быть решена как стандартным методом ( т.к. порядок системы не слишком велик - ), так и специальными методами применяемыми для решения систем с трехдиагональными матрицами, например, методом прогонки [2].
рис.2
На рис.2 представлен расчет установления температуры в стержне, проведенный по неявной схеме (7.3.5), при следующих начальных и граничных условиях: , ; , , ; , . Шаги сетки по времени и по пространственной координате , . При данном значении расчеты по явной схеме (7.3.4) были бы невозможны из-за большой неустойчивости. Число шагов по и по соответственно M=10, N=100.
-
Уравнения эллиптического типа
Двумерные краевые задачи для уравнений данного типа рассмотрим на примере уравнений Лапласа, Пуассона и Гельмгольца. Обозначим, как обычно, оператор Лапласа
Тогда указанные уравнения имеют вид: 1.Уравнение Лапласа 2.Уравнение Пуассона 3.Уравнение Гельмгольца
Граничные условия задаются на границе области : ,в частности, на границе прямоугольника : , , ,