- •Гоу впо «удмуртский государственный универститет»
- •Контрольная работа №3
- •Требования к оформлению контрольных работ.
- •Решения задачи должны сопровождаться краткими, но достаточными объяснениями; решения необходимо проверить и критически оценивать правдоподобность полученного результата, исходя из смысла задачи.
- •После решения каждой задачи выписать литературу не меньше двух книг с указанными страницами.
- •Задание 1. Найти общее решение:
- •Задание 2. Найти общее решение:
- •Задание 3. Найти общее решение:
- •Задание 4. Найти общее решение:
- •Задание 5. Решить задачу Коши:
- •Задание 6. Найти общее решение:
- •Задание 13.
- •Задание 14.
- •2. «Ряды». Задание 1. Найти общее решение:
- •Задание 2. Найти общее решение:
- •Задание 3. Найти общее решение:
- •Задание 4. Найти общее решение:
- •Задание 5. Решить задачу Коши:
- •Задание 6. Найти общее решение:
- •Задание 7. Исследовать на сходимость числовой ряд:
- •Задание 8. Исследовать на сходимость числовой ряд:
- •Задание 9. Исследовать на сходимость числовой ряд:
- •Задание 10. Исследовать на сходимость числовой ряд:
- •Задание 11. Исследовать на сходимость, абсолютную или условную сходимость знакочередующийся ряд:
- •Задание 12. Найти область сходимости ряда:
- •Задание 13. Разложить в ряд Маклорена или в ряд Тейлора функцию f(X) в окрестности указанной точки X. Указать область сходимости полученного ряда.
- •Задание 14. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0.001.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УР
Гоу впо «удмуртский государственный универститет»
Филиал УдГУ в г. Воткинске
Кафедра математики и информатики
Контрольная работа №3
по дисциплине
«МАТЕМАТИКИ»
(название дисциплины)
для специальности -ЭУНГП
ВОТКИНСК 2007
Требования к оформлению контрольных работ.
-
Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой указывается предмет, номер работы, номер варианта, фамилия, имя, отчество.
-
Контрольные работы должны быть написаны аккуратно и разборчиво, чертежи выполнены с помощью чертежных инструментов; для пометок преподавателей должны быть оставлены поля 3-4 см.
-
Условия задачи необходимо списывать полностью, к геометрическим задачам необходимо делать краткую запись условия. Полученный результат выделять.
-
Каждую задачу необходимо начинать с чистого листа.
-
Решения задачи должны сопровождаться краткими, но достаточными объяснениями; решения необходимо проверить и критически оценивать правдоподобность полученного результата, исходя из смысла задачи.
-
После решения каждой задачи выписать литературу не меньше двух книг с указанными страницами.
-
Студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя, исправить все допущенные в работе ошибки, а в случае неудовлетворительного выполнения работы исправить ее и представить вторично или по указанию преподавателя выполнить другой вариант и предоставить ее на рецензию.
-
Без предъявления контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.
Решение типового варианта
Задание 1. Найти общее решение:
.
Преобразуем данное уравнение:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные
Интегрируем обе части неравенства:
Последнее равенство является общим интегралом исходного уравнения.
Задание 2. Найти общее решение:
.
Так как функции и — однородные второго измерения
то данное уравнение — однородное.
Сделаем замену: где — новая неизвестная функция.
.
Тогда:
, .
Далее имеем:
, .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
.
В последнее выражение вместо подставим значение .
Получим общий интеграл:
Выразив отсюда , найдём общее решение исходного уравнения :
.
Задание 3. Найти общее решение:
.
Это линейное неоднородное уравнение. Рассмотрим однородное:
.
Решим его:
, ,
По методу Лагранжа общее решение линейного неоднородного уравнения ищем в виде ,где — неизвестная функция.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
.
Получим простейшее дифференциальное уравнение 1-ого порядка:
, , .
Окончательно, общее решение нашего уравнения имеет вид :
.
Задание 4. Найти общее решение:
Введём обозначения:
Так как;, а следовательно , то уравнение является уравнением в полных дифференциалах, а его левая часть есть полный дифференциал , причем
Далее:
;
т.е.
, , а, .
Общий интеграл исходного уравнения имеет вид U (x, y)=C или
.