Операторные изображения основных функций

Номера	Исходная функция	Операторное изображение исходной функции
1	2	3
1
2	1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13		1
Продолжение табл. 5.4
1	2	3
14
15
16
17
18
19
20
21

Согласно теореме разложения оригинал равен:

где – простые корни уравнения

5.2.1 Примеры расчета переходных процессов операторным методом

Пример первый.

На вход схемы, состоящей из двух параллельно соединённых ветвей (рис. 5.10), в момент времени t=0 подаётся скачок напряжения величиной U₀=2 В.

Найти зависимость входного тока от времени i(t) при нулевых начальных условиях.

Параметры схемы равны:

R=0,5 кОм, L=0,1 Гн, С=2 мкФ.

Рис. 5.10. Параллельный колебательный контур

Операторная схема замещения рассматриваемой электрической цепи представлена на рисунке 5.11.

Рис. 5.11. Операторная схема замещения цепи рисунка 5.10

Расчёт

Закон Ома в операторной форме имеет вид:

= _, (5.38)

где операторная проводимость равна:

. (5.39)

Изображение определяется выражением:

. (5.40)

Подставив значения и в формулу (5.38), получим:

(5.41)

Переходим от изображения входного тока к оригиналу:

(5.42)

График зависимости i(t) представлен на рисунке 5.12.

Рис. 5.12. График зависимости тока i(t) от времени

Пример второй.

На вход изображенной на рисунке 5.13 схемы в момент времени t=0 подается скачок напряжения величиной U₀ = 1 B.

Рис. 5.13. Электрический фильтр

Найти зависимость входного тока i₁ от времени t при нулевых начальных условиях.

Численные значения параметров элементов схемы: С = 10 мкФ, R = 10 Ом, L = 400 мГн.

Расчёт

Операторная схема замещения электрической цепи изображена на рисунке 5.14.

Рис. 5.14. Операторная схема замещения цепи рисунка 5.13.

Записывая уравнения по первому и второму законам Кирхгофа в операторной форме, получим:

Решая эту систему уравнений относительно изображения найдем:

Подставляя вместо его значение, равное , получим:

где

Для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся теоремой разложения:

где корни многочлена ; – производная многочлена .

Найдем эти корни, приравнивая к нулю:

.

Из уравнения следует, что .

Корни и найдем, приравнивая к нулю второй сомножитель уравнения:

Решая уравнение, находим:

Подставляя численные значения, получим:

Найдем значения ,,:

Определим

Находим значения ,,

Подставляя полученные значения в формулу для оригинала, получим:

Таким образом:

График зависимости представлен на рисунке 5.15.

Рис. 5.15. График зависимости i(t)