1.6. Правило Крамера

Правило Крамера применяется для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Система n линейных уравнений с n неизвестными записывается в виде:

а₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n=b₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_n1x₁+a_2nx_n+…+a_njx_j+…+a_nnx_n=b_n

Составляется определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

a₁₁ a₁₂ … a_1j … a_1n

= a₂₁ a₂₃ … a_2j …a_2n

. . . . . . . . . . . . . . . . .

a_n1 a_n2 … a_nj … a_nn

Если определитель не равен нулю, то система уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:

j=1,2,…,n;

где _j – определитель, получаемый из определителя системы заменой в нем j-ого столбца столбцом свободных членов уравнений системы.

Упражнения.

Решить системы линейных уравнений по правилу Крамера:

x₁+2x₂+3x₃-5=0, -x₁+2x₂-3x₃+5=0,

1.6.1. 2x₁-3x₂-2x₃-1=0, 1.6.2. 2x₁-x₂+x₃-7=0,

3x₁+x₂+x₃-4=0. 4x₁+3x₂-x₃-9=0.

2x₁-x₂+3x₃+2x₄=4, x₁+2x₂-x₃+x₄=-3,

1.6.3. 3x₁+3x₂+3x₃+2x₄=6, 1.6.4. 2x₁-x₂-2x₃+x₄=-2,

3x₁-x₂-x₃+2x₄=6, 3x₁+x₂+2x₃-2x₄=6,

3x₁-x₂+3x₃-x₄=6. -x₁+x₂+x₃-x₄=0

x₁+3x₂+5x₃+7x₄=12, x₁+2x₂+3x₃+4x₄=0,

1.6.5. 3x₁+5x₂+7x₃+x₄=0, 1.6.6. x₁+x₂+2x₃+3x₄=0,

5x₁+7x₂+x₃+3x₄=4, x₁+5x₂+x₃+4x₄=0,

7x₁+x₂+3x₃+5x₄=16. x₁+5x₂+5x₃+2x₄=0.

2x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2, x₁+2x₂-3x₃+4x₄-x₅=-1,

x₁+2x₂+x₃+x₄+x₅=0, 2x₁+x₂-3x₃+4x₄+2x₅=8,

1.6.7. x₁+x₂+3x₃+x₄+x₅=3, 1.6.8. 3x₁+x₂-x₃+2x₄-x₅=3,

x₁+x₂+x₃+4x₄+x₅=-2, 4x₁+3x₂+4x₃+2x₄+2x₅=-2,

x₁+x₂+x₃+x₄+5x₅=5. x₁-x₂-x₃+2x₄-3x₅=-3.

1.6.9. Проверить, что система уравнений:

2x₁-3x₂+4x₃-3x₄=0,

3x₁-x₂+11x₃-13x₄=0,

4x₁+5x₂-7x₃-2x₄=0,

13x₁-25x₂+x₃+11x₄=0

имеет решение x₁=x₂=x₃=x₄=1 и вычислить определитель системы.

1.6.9.Доказать, что система уравнений:

ax+by+cz+dt=0,

-bx+ay+dz-ct=0,

-cx-y+az+bt=0,

-x+cy-bz+at=0

имеет единственное решение, если a,b,c,d – вещественные числа, не все равные нулю.

1.7. Метод полного исключения неизвестных Жордана-Гаусса

Методом полного исключения неизвестных Жордана-Гаусса можно решать любую систему линейных уравнений:

Прежде всего составляется матрица из коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений этой системы, называемая расширенной матрицей системы:

Над матрицей производятся следующие элементарные преобразования, в результате которых система уравнений, соответствующая вновь получаемой матрице, остаётся эквивалентной исходной:

а) перемена местами любых строк матрицы,

б) умножение любой строки матрицы на число, отличное от нуля,

в) прибавление к некоторой строке матрицы другой её строки, умноженной на любое число,

г) перемена местами любых столбцов (что соответствует перестановке членов, содержащих одноимённые неизвестные во всех уравнениях).

В результате этих преобразований получается система, в которой некоторое неизвестное исключено из всех уравнений, кроме одного. К полученной системе снова применяются элементарные преобразования, исключающие другое неизвестное и т.д.

В процессе преобразований могут встретиться несколько случаев.

1. Если на некотором этапе получилась матрица вида:

то процесс вычислений заканчивается. Исходная система имеет единственное решение. Значения соответствующих неизвестных находятся в правой части матрицы.

2. Если на некотором этапе получилась строка, левая часть которой состоит из нулей, а правая не равна нулю, что соответствует уравнению:

то исходная система не имеет решений, так как написанное уравнение не имеет решений, т.е. система несовместна.

3. Если на некотором этапе образовалась строка, целиком состоящая из нулей, что отвечает уравнению:

то такую строку можно исключить из матрицы, так как написанное уравнение является тождеством. Наличие нулевой строки свидетельствует о том, что в исходной системе имелось, по крайней мере, одно уравнение, являющееся следствием остальных, то есть получаемое из остальных, путём умножения этих строк на некоторые числа и сложения результатов умножения.

4. Если на некотором этапе получилась матрица вида:

(k<n), то процесс вычислений заканчивается. Исходная система имеет бесчисленное множество решений. Для получения общего решения оставляется в левой части системы, отвечающей этой матрице, первые “k” неизвестных, остальные члены уравнений переносятся в правую часть к свободным членам.

Если придать неизвестным в правой части общего решения конкретные значения и подсчитать значения неизвестных левой части, то будем иметь частное решение. Если положить все неизвестные в правой части равными нулю, то соответствующее частное решение будет базисным.

Пример. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Будем решать систему методом Жордана-Гаусса.

Составим расширенную матрицу и поменяем местами первую и вторую строки:

Приняв коэффициент при неизвестном в первой строке за направляющий, исключим неизвестное из остальных уравнений, т.е. умножив первую строку на “-2” и на “-3”, сложим соответствующие результаты со второй и третьей строками полученной матрицы.

Далее принимаем за направляющий элемент “-3” – во второй строке и во втором столбце. Чтобы получить единицу вместо направляющего элемента, разделим вторую строку на “-3”. Умножив полученную строку соответственно на “-2” и на “3”, сложим результаты соответственно с первой и третьей строками, тем самым исключим неизвестное из первого и третьего уравнений системы:

Далее, принимая элемент “-6” в третьей строке и третьем столбце за направляющий, поделим третью строку на “-6”. С помощью этой строки, содержащей единицу, получим нули в третьем столбце в первой и второй строках:

Последняя матрица соответствует системе уравнений:

Считая и свободными, переносим их в правую часть. В результате получаем общее решение системы:

Давая и произвольные значения, получаем бесчисленное множество решений.

Пусть и , тогда частное решение будет следующим:

При и получаем базисное решение:

Подставляя полученные решения в заданную систему уравнений, можно убедиться в правильности вычислений.

Упражнения.

Решить системы линейных уравнений. Выяснить геометрический смысл решения:

1.7.1.

1.7.2.

1.7.3.

Решить системы уравнений методом полного исключения неизвестных (методом Жордана-Гаусса). Если система является неопределённой, то надо найти одно из базисных решений и частное решение, не являющееся базисным.

1.7.4.

1.7.5.

1.7.6.

1.7.7.

1.7.8.

1.7.9.

1.7.10.

1.7.11.

1.7.12.

1.7.13.

1.7.14.

1.7.15.

1.7.16.

1.7.17.

1.7.18.

1.7.19.

1.7.20.