1.5. Вычисление ранга матрицы

Рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых строк (столбцов). Он равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров матрицы. Ранг обозначается буквой r.

Если дана матрица порядка mn, то ранг не может быть больше меньшего из чисел m и n, т.е. rmin(m,n). Ранг можно находить путем непосредственного вычисления определителей, составленных из данной матрицы. Покажем это на примере.

Пример1. Найти ранг матрицы А:

Решение. Составляем определитель второго порядка на основе данной матрицы:

=5.

Он отличен от нуля, поэтому переходим к составлению определителей третьего порядка, окаймляя определитель второго порядка, не равный нулю, дополнительными строкой и столбцами до тех пор, пока не получим определитель, отличный от нуля:

=0,

=50+8-40-18=0,

=0,

=-30.

Получен определитель третьего порядка, не равный нулю. Переходим к составлению определителей четвертого порядка, окаймляя последний определитель, отличный от нуля, дополнительной строкой и столбцом. В данном случае имеем один определитель четвертого порядка – это определитель данной матрицы.

==0.

Он равен нулю. Следовательно, для данной матрицы наибольший порядок минора отличного от нуля, есть третий. Поэтому ранг матрицы равен 3. Если все вычисленные определители k-ого порядка, полученные на основе данной матрицы, будут равны нулю, то ранг матрицы равен k-1.

В данном примере r=3 указывает, что в матрице А линейно независимы три строки, а именно первая, вторая и четвертая, т.е. те, которые образуют определитель третьего порядка не равный нулю.

Можно вычислить ранг при помощи элементарных преобразований (преобразований, не изменяющих ранг матрицы). К ним относятся следующие:

1) перемена местами двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение любой строки (столбца) матрицы на произвольное число, отличное от нуля;

3) сложение одной строки (столбца) матрицы с другой строкой (столбцом), предварительно умноженной на произвольное число;

4) вычеркивание строки (столбца), являющейся линейной комбинацией других строк (столбцов);

5) вычеркивание строки (столбца), целиком состоящей из нулей.

С помощью элементарных преобразований из исходной матрицы получают единичную. Ранг матрицы равен порядку полученной единичной матрицы. Найдем ранг матрицы А из примера 1 при помощи элементарных преобразований. Получим нули в первом столбце с помощью первой строки. В результате будем иметь две равные строки (вторая и третья). Одну из них можно вычеркнуть. Последнюю строку разделим на “2” и поменяем местами второй и третий столбцы:

Во втором столбце получим нули с помощью второй строки. Первый столбец умножим на “13” и сложим с третьим; второй умножим на “-5” и сложим с третьим. Последнюю строку разделим на “-3”, и с помощью ее получим нули в последнем столбце. В результате будем иметь:

Третий столбец, целиком состоящий из нулей, можно вычеркнуть. В полученной матрице по главной диагонали стоят три единицы. Следовательно, ранг матрицы равен 3. Отметим, что при вычислении ранга матрицы при помощи элементарных преобразований мы не всегда можем сказать, какие именно строки (или столбцы) матрицы линейно-независимы.

Упражнения.

Найти ранг следующих матриц:

1.5.1. 1.5.2.

1.5.3. 1.5.4.

1.5.5. 1.5.6.

1.5.7. 1.5.8.

Найти ранг следующих матриц при помощи элементарных преобразований:

1.5.9. 1.5.10.