- •K читателям русского издания
- •Предисловие р. Фейнмана
- •Предисловие
- •Глава 1 атомы в движении § 1. Введение
- •§ 2. Вещество состоит из атомов
- •Фиг. 1.2. Пар под микроскопом.
- •§ 3. Атомные процессы
- •§ 4. Химические реакции
- •Глава 2 основные физические воззрения § 1. Введение
- •§ 2. Физика до 1920 года
- •§ 3. Квантовая физика
- •§4. Ядра и частицы
- •Глава 3 физика и другие науки § 1. Введение
- •§ 2. Химия
- •§ 3. Биология
- •§ 4. Астрономия
- •§ 5. Геология
- •§ 6. Психология
- •§ 7. С чего все пошло?
- •Глава 4 сохранение энергии § 1. Что такое энергия?
- •§ 2. Потенциальная энергия тяготения
- •§ 3. Кинетическая энергия
- •§ 4. Прочие формы энергии
- •Глава 5 время и расстояние § 1. Движение
- •§ 2. Время
- •§ 3. Короткие времена
- •§ 4. Большие времена
- •§ 5. Единицы и стандарты времени
- •§ 6. Большие расстояния
- •§ 7. Малые расстояния
- •Глава 6 вероятность
- •§ 1. Вероятность и правдоподобие
- •§ 2. Флуктуации
- •§ 3. Случайные блуждания
- •§ 4. Распределение вероятностей
- •§ 5. Принцип неопределенности
- •Глава 7 теория тяготения § 1. Движение планет
- •§ 2. Законы Кеплера
- •§ 3. Развитие динамики
- •§ 4. Ньютонов закон тяготения
- •§ 6. Опыт Кавендиша
- •§ 7. Что такое тяготение?
- •§ 8. Тяготение и относительность
- •Глава 8 движение § 1. Описание движения
- •§ 2. Скорость
- •§ 3. Скорость как производная
- •§ 4. Расстояние как интеграл
- •§ 5. Ускорение
- •Глава 9 динамические законы ньютона § 1. Импульс и сила
- •§ 2. Компоненты скорости, ускорения и силы
- •§ 3. Что такое сила?
- •§ 4. Смысл динамических уравнений
- •§ 5. Численнов решение уравнений
- •§ 6. Движение планет
- •Глава 10 закон сохранения импульса § 1. Третий закон Ньютона
- •§ 2. Закон сохранения импульса
- •§ 3. Импульс всё-таки сохраняется!
- •§ 4. Импульс и энергия
- •§ 5. Релятивистский импульс
- •Глава 11 векторы § 1. Симметрия в физике
- •§ 2. Переносы начала
- •§ 3. Вращения
- •§ 4. Векторы
- •§ 5. Векторная алгебра
- •§ 6. Законы Ньютона в векторной записи
- •§ 7. Скалярное произведение векторов
- •Глава 12 характеристики силы § 1, Что есть сила?
- •§ 2. Трение
- •§ 3. Молекулярные силы
- •§ 4. Фундаментальные силы. Поля
- •Итак, закон силы для покоящихся зарядов имеет вид
- •§5 Псевдосилы
- •§ 6. Ядерные силы
- •§ 2. Работа, выполняемая тяжестью
- •§ 3. Сложение энергий
- •§ 4. Поле тяготения больших тел
- •§ 2. Движение при наложенных связях
- •§ 3. Консервативные силы
- •§ 4. Неконсервативные силы
- •§ 5. Потенциалы и поля
§ 4. Векторы
Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, которые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических законов была разработана специальная математическая техника.
Решение поставленных в предыдущих параграфах задач потребовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к минимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта система, называемая векторным анализом, определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый результат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику векторного анализа.
Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, но давайте начнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е. определить направление его движения.
Все величины, имеющие направление, подобно шагу в пространстве, называются векторами.
Вектор определяется тремя числами. Чтобы описать шаг, скажем из начала координат в точку Р, определяемую координатами х, у и z, мы фактически должны задать три числа. Но мы будем использовать для этой цели один-единственный математический символ r, с которым нам чаще всего придется иметь дело в дальнейшем. Это не одно число: символ r задается тремя числами: х, у и z. Символ r означает три числа, но не только эти три числа, потому что при переходе к другой системе координат нужно заменить их числами х', у' и z'. Однако мы хотим как можно более упростить нашу математику и используем один и тот же символ в качестве представителя трех чисел х, у, z и трех чисел х', у', z'. Точнее говоря, мы используем один и тот же символ в качестве представителя первого набора чисел в одной системе координат и делаем его представителем второго набора чисел, если захотим сменить систему координат. Это удобно потому, что нам не придется изменять формы уравнений при переходе от одной системы координат к другой. Если мы записываем уравнения, используя координаты х, у и r, а затем меняем систему отсчета, то появляются координаты х', у' и z', но мы пишем просто r, условившись, что этот символ служит представителем х, у, z, если мы пользуемся первой системой отсчета, и х', у', z', если мы перешли к другой системе. Три числа, которые описывают векторную величину в заданной системе отсчета, называются составляющими (компонентами) вектора в направлении координатных осей системы отсчета. Иначе говоря, мы используем один символ для обозначения трех букв, и он соответствует наблюдению одного и того же объекта с трех разных точек зрения. Произнося слова «один и тот же объект», мы обращаемся к нашей физической интуиции, которая говорит нам, что шаг в пространстве не зависит от того, какими составляющими мы его описываем. Итак, символ r представляет один и тот же объект независимо от того, как мы ориентируем оси системы отсчета.
Предположим теперь, что существует другая направленная величина, например сила – еще одна величина, которую можно определить, задав связанные с ней три числа. Эти три числа переходят при изменении системы координат в другие три числа по строго определенным математическим правилам. Эти правила должны быть теми же самыми, которые определяли переход тройки чисел х, у, z в х' , у', z'. Другими словами, вектор – это величина, определяемая тремя числами, которые преобразуются при изменениях системы координат так же, как составляющие шага в пространстве. Уравнение типа
F = r
справедливо в любой системе координат, если оно верно хотя бы в одной из них. Оно заменяет нам три уравнения
Fx=x, Fy=y, Fz=z или соответственно
Fх'=х' ,Fу'=у' ,Fz'=z'.
Тот факт, что физические соотношения между какими-либо величинами можно выразить в виде векторных уравнений, говорит о том, что эти соотношения верны в любой системе координат. Вот почему понятие вектора очень удобно в физике.
Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов. В качестве примера «вектора» можно указать скорость, импульс, силу и ускорение. Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Но почему же можно представить силу стрелкой? Да потому, что она преобразуется по тем же законам, что и «шаг в пространстве». Именно поэтому можно представить силу в виде чертежа, как если бы это изображалось перемещение, причем выберем такой масштаб, чтобы единица силы, например ньютон, соответствовала некоторой длине. Проделав такую процедуру однажды, мы всегда сможем изображать силы в виде отрезков, потому что уравнение типа
F=kr
(где k – некоторая постоянная) имеет вполне определенный смысл. Возможность представлять силу отрезком сулит нам большие выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, конечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются составляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сводится к простому геометрическому построению.