3. Построение завышенной оценки

Итак, попробуем подставить во вторую вариацию действительного возмущения не точную экстремаль, а более простую функцию

, (80)

полученную как суперпозицию функции (см (59)) и солитонного решения:

(81)

Из условия ортогональности (40) получаем:

,

(82)

После переобозначения получаем функцию (80).

Далее находим норму (см (38)):

,

(83)

Таким образом,

(84)

При этом производная равна

(85)

Подставляя их в выражение второй вариации (36) получаем:

, то есть

(86)

откуда следует оценка вида:

, , (87)

где число –точная оценка, а число

(88)

соответствует выбранной нами функции , то есть

. (89)

Данная оценка завышена по построению, поскольку функция не является экстремалью. Сравнение с точной оценкой показывает удивительно большую точность приближенного метода: расхождение составляет всего

, (90)

то есть 4%.

Полученная здесь оценка получается проще чем точная, безо всякого «узнавания» в нашей задаче классического безотражательного потенциала уравнения Шредингера и использования его решений, не имеющих простого (в контексте нашей задачи) физического смысла. Следует отметить, что функция четная, поэтому она даст решение как задачи (40) так и задачи (69), то есть данная функция не содержит в себе «сдвига исходного солитона как целого», и является поэтому возмущением не только относительно исходного солитона, но и относительно всего класса солитонов.

4. Выводы

Была доказана устойчивость НУШ-солитона вторым методом Ляпунова. Для этого были найдены интегралы энергии и импульса из тензора энергии и импульса и интеграл «массы» (числа квантов) . Было найдено минимальное значение энергии при заданном интеграле числа квантов и на основе этого построен функционал Ляпунова . Действительно, при условии по построению функционал обращается в ноль на солитоне , имеет нулевую первую вариацию и положительную вторую вариацию . Поскольку функционал Ляпунова сконструирован из интегралов движения, то он неизменен во времени , что доказывает устойчивость солитонов.

Вторую вариацию функционала Ляпунова можно оценить через норму возмущения. Введем обозначения:

, ,

, .

Для чисто действительного четного возмущения (то есть синфазного с невозмущенной функцией) получена точная оценка вида , где , которая достигается на функции . Данная функция построена с помощью производной по частоте от солитонного решения и точного решения уравнения Шредингера. Следует заметить, что с помощью физически более простого построения можно получить приближенную оценку , которая достигается на функции . Важно, что эта функция также четная. Функция построена с помощью производной по частоте от солитонного решения и самого солитона. Приближенная оценка выше точной всего на 4%.

Нечетные возмущения мы считаем нефизичными, поскольку они сдвигают солитон, а нас фактически интересует возмущение относительно всего класса солитонов, а не исходного солитона.

Для чисто мнимого возмущения явно показано, что либо вторая вариация положительна (и первая вариация нулевая), либо первые три вариации нулевые и четвертая вариация положительна, так что второй метод Ляпунова применим. Однако случай обращения в ноль второй вариации соответствует изменению фазы солитона, а не его возмущению, то есть соответствующее «возмущение» не выводит нас из класса солитонов. Поэтому разумно исключить такие возмущения и рассматривать далее чисто действительные возмущения. В принципе, мнимые возмущения можно не исключать и сказать что физически разумное возмущение имеет переменное во времени фазовое соотношение с исходным солитоном, поэтому в среднем по достаточно большому интервалу времени можно оценить .

Тогда: , или

Однако более физично рассматривать только четные синфазные возмущения, которые действительно соответствуют возмущению относительно класса солитонов, и записать ответ для оценки функционала Ляпунова в окрестности неподвижного солитона в виде:

или

.