2. Явная оценка через норму возмущения

Переход к вариационной задаче.

Оценим вторую вариацию (при ) функционала Ляпунова в окрестности неподвижного солитона. Выразим для удобства параметр через , тогда возмущенная функция имеет вид:

, (30)

(31)

Здесь уже произведен сдвиг координат так что x₀=0. Обозначим .

Подставим возмущенную функцию в функционал Ляпунова:

,

Из уравнения солитона . Тогда

(32)

Возмущение должно удовлетворять условию сохранения массы , то есть

, тогда

(33)

Таким образом, , где

, (34)

Подставив явный вид (31) функции F, получим:

Сделаем замену

, (35)

тогда

(36)

(37)

А условие сохранения массы примет вид

Поскольку мы хотим получить оценку через норму возмущения, то надо искать минимум функционалов и при постоянных нормах (числах квантов возмущения):

(38)

(39)

Тогда норма исходного возмущения .

Вариационные задачи для условных экстремумов функционалов при постоянных нормах возмущений примут вид:

(40)

(41)

Здесь – множители Лагранжа; из условий нормировки автоматически следует быстрое спадание функций f, g на .

Решение вариационной задачи чисто мнимого возмущения.

Получение экстремали с помощью взятия производной по параметру от уравнения солитона.

Из некоторых соображений было бы логично, если бы эти уравнения были похожи на производную от уравнения солитона (7) по какому-нибудь параметру. У неподвижного солитона (2) есть три независимых параметра: . Проще всего взять производную по . , а соответствующее уравнение . Простейший безразмерный аналог имеет вид:

(42)

Выведем соответствующее уравнение:

,

Соответствующее уравнение имеет вид (проверяется непосредственно подстановкой):

(43)

Это просто уравнение для функции g с . Получается, что производная по фазе – чисто комплексному параметру – дает решение задачи с чисто мнимым возмущением.

Получение экстремали с помощью решения уравнения Шредингера.

Кроме того, уравнение для функции g совпадает с уравнением Шредингера для одного из безотражательных потенциалов. В соответствии с условиями на функцию нас интересуют дискретные уровни энергии этого потенциала и соответствующие им собственные функции. Эта задача решается строго (Ландау, Лифшиц «Квантовая механика. Нерелятивистская теория» с.99-100 и с.759-761). Уравнение

, (44)

где числа , s не обязательно целые, приводится к виду

, (45)

где . При этом решение имеет вид

, (46)

где – гипергеометрическая функция. Она даст спадающее на бесконечности решение только когда, во-первых, - целое неотрицательное число и, во-вторых, . При этом:

(47)

Уровни энергии определяются целым числом n, причем .

Для чисто мнимого возмущения: , , то есть . Таким образом, есть только один дискретный уровень n=0 («уровень» n=1 совпадает с границей непрерывного спектра). Найдем соответствующую ему (n=0) собственную функцию:

(48)

Мы получили функцию вида (42). Этого и следовало ожидать: поскольку у уравнения Шредингера только один дискретный уровень, то и у совпадающего с ним уравнения (41) на функцию g только одно спадающее на бесконечности решение. Перейдем к оценке функционала с ее помощью.

Оценка второй вариации для случая чисто мнимого возмущения.

Условие нормировки: , . Найдена экстремаль:

(49)

Подставив ее в выражение для второй вариации найдем:

0 (50)

Таким образом, получена оценка вида

, (51)

где

(52)

В принципе, этого и следовало ожидать: возмущение, сдвинутое по фазе на дает поправку более высокого порядка, чем синфазное возмущение. Естественно ожидать, что для экстремальной функции мы получим , а можно будет оценить через норму и положительную константу.

Вообще в выражение для функции Ляпунова возмущенной функции мнимое возмущение g входит только в четных степенях, поэтому заведомо . Найдем четвертую вариацию:

(53)

Четвертая вариация является определяющей только при условии что , поэтому ее имеет смысл считать только на экстремалях, то есть функциях вида (44).

(54)

Таким образом, на «чисто мнимом» (сдвинутом по фазе на ) возмущении вида солитона первые три вариации обращаются в ноль, а четвертая положительна (см (54)). На других типах «чисто мнимых» возмущений первая вариация обращается в ноль, а вторая вариация положительна, но она может быть сколь угодно малой (например, для функций близких к солитону) по сравнению с нормой возмущения, и ее нельзя оценить. Однако это очень экзотичный вид возмущений. Реальное возмущение должно иметь переменный во времени сдвиг фаз, тогда для оценки второй вариации по порядку величины можно будет взять оценку для синфазного («чисто действительного») возмущения. Кроме того, возмущение вида такого солитона было получено как производная по фазе от исследуемого решения, поэтому оно соответствует изменению фазы солитона и не выводит нас из класса солитонов. Поэтому это решение нефизично.

Решение вариационной задачи чисто действительного возмущения.

Получение экстремали с помощью взятия производной по параметру от уравнения солитона.

Теперь рассмотрим производные по двум другим параметрам. Можно перейти от комплексного солитонного решения к действительной функции

, (55)

удовлетворяющей уравнению

(56)

Производная по даст функцию , (57)

а соответствующее уравнение (58)

Простейший безразмерный аналог имеет вид:

(59)

А соответствующее уравнение:

(60)

Это уравнение совпадает с уравнением для чисто действительного возмущения (40) при , . Из условия на норму можно получить , но другое условие пока выполнить нельзя, поскольку . Поэтому функция может использоваться для оценки только в сумме с другим решением уравнения (40).

Отступление. В принципе, можно получить некоторую информацию об оценке второй вариации с помощью подстановки в нее произвольной функции , удовлетворяющей нормировке и условию ортогональности. При этом мы получим информацию типа: , , где число A – неизвестная точная оценка, а число B соответствует выбранной нами функции , то есть . Если у нас есть основания полагать, что функция похожа на экстремаль задачи, то можно заключить, что числа A и B одного порядка или даже примерно равны… В качестве функции напрашивается взять сумму и, например, солитонного решения. Сумма с правильными весами будет ортогональна солитону и даст некоторое значение B≈0.0584. Константа B подробно рассчитана в конце работы. Точное значение A≈0.0561 удивительно близко к оценке через (разница всего 4%), что оправдывает использование такого приближенного метода…

Рассмотрим еще одну возможную производную по параметру от уравнения солитонов (7). Производная по даст функцию

, (61)

а соответствующее уравнение (62)

Простейший безразмерный аналог имеет вид:

(63)

А соответствующее уравнение:

(64)

Это уравнение совпадает с уравнением для чисто действительного возмущения (40) при , . Условие выполнено в силу нечетности функции .

Из условия на норму (см (38)) найдем :

, (65)

тогда , а функция имеет вид:

(66)

Функция удовлетворяет всем условиям на экстремаль, осталось подставить ее в выражение для второй вариации (36):

Вычисление произведено в среде «Mathcad».

Таким образом, получена оценка вида

, (67)

где (68)

Однако, эта экстремаль была получена с помощью взятия производной по координате центра солитона. Добавление такого возмущения должно соответствовать смещению солитона вдоль оси x как целого и не выводить нас из класса солитонов. Так что такое решение нефизично. На это же указывает результат .

От смещений по координате можно избавиться, рассматривая только четные возмущения, для этого достаточно переформулировать задачу (40):

(69)

Тогда выражение для второй вариации (36) для четного возмущения будет: (70)

Ясно, что все экстремали задачи (69) будут также экстремалями задачи (40), поэтому достаточно найти экстремаль задачи (40) и потом проверить что она четная функция. Продолжим поиск решений уравнения для экстремали (40).

Получение экстремали с помощью решения уравнения Шредингера.

Решение квантовомеханической задачи (Ландау, Лифшиц «Квантовая механика. Нерелятивистская теория» с.99-100 и с.759-761) позволяет нам утверждать, что для уравнения (44) (, s – не обязательно целые) решение хорошо спадает на бесконечности только при условии , где – целое число, причем решение имеет вид (47): , где – гипергеометрическая функция (формулы для вычисления см с.759-761).

Для чисто действительного возмущения: , , то есть . При этом мы получаем частный случай уравнения (40) когда . У полученного уравнения есть два дискретных уровня n=0 и n=1 («уровень» n=2 совпадает с границей непрерывного спектра). Найдем соответствующие им собственные функции.

Для уровня n=0:

(71)

Для уровня n=1:

Таким образом,

(72)

Эта функция совпала с функцией (63), полученной при дифференцировании солитонного уравнения по координате центра солитона. Естественно, что функция четная, а нечетная. Для поиска симметричной экстремали нам полезна только . Функция сама по себе не удовлетворяет условию ортогональности , но из суперпозиции функций (см (71)) и (см (59)) можно составить ортогональное к солитону решение.

Оценка второй вариации для случая чисто действительного возмущения.

Итак, составим ортогональное к солитону решение из суперпозиции функций (71) и (59). Это решение будет четным по построению, поэтому (после нормировки) оно даст решение как задачи (40) так и задачи (69).

Итак, ищем решение вариационной задачи вида:

(73)

Тогда из условия ортогональности:

, то есть

(74)

Итак:

(75)

Условие нормировки (38):

,

, тогда

(76)

Ее производная равна:

Подставим их в выражение для второй вариации (36):

Вычисление произведено в среде «Mathcad».

Итак,

(77)

Таким образом, получена оценка (фактически для четных чисто действительных возмущений) вида:

, (78)

где зависит только от массы возмущаемого солитона и равна:

(79)

Зависимость от P можно было получить заранее из метода размерностей (P – единственный заданный размерный параметр). Действительно, из уравнения (1) если , то , а . Соответственно . Тогда из (27) получаем , тогда . Поскольку , то . Так и получилось.

Можно выразить ответ через частоту , тогда .