22. Вычисление определённого интеграла

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , – любая ее первообразная на этом отрезке, то справедлива формула, называемая формулой Ньютона-Лейбница: .

23. Несобственные интегралы

Несобственным интегралом первого рода (с одним бесконечным пределом интегрирования) называется предел вида или .

Несобственным интегралом второго рода (от разрывных функций или от неограниченных), называются пределы вида:

1) , с=const.

2) , если определена и непрерывна при \.

3) или если терпит разрыв в левом конце промежутка или правом.

Если этот предел существует и является конечным числом, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если этот предел не существует или является или , то говорят, что несобственный интеграл расходится.

24. Геометрические приложения определённого интеграла. Вычисление площадей плоских фигур

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на отрезке непрерывной и неотрицательной функции , прямыми , , перпендикулярными к оси , и отрезком оси между точками и .

Теорема. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

.

Замечание. Если фигура ограничена сверху графиком функции , а снизу – графиком функции , то площадь этой фигуры вычисляется по формуле:

25. Вычисление длин дуг кривых

Теорема. Пусть кривая задана уравнением , причем и непрерывны на отрезке , тогда длина дуги кривой на отрезке :

.

Теорема. Пусть уравнение кривой задано в параметрической форме уравнениями: , , , где – непрерывные функции с непрерывными производными, тогда длина кривой :

.

26. Вычисление объёмов тел вращения

Теорема. Объём тела, полученного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной на отрезке непрерывной и неотрицательной функции , прямыми , , перпендикулярными к оси , и отрезком оси между точками и , вычисляется по формуле

.

Теорема. Объём тела, полученного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной на отрезке непрерывной и неотрицательной функции , прямыми , , перпендикулярными к оси Oy, и отрезком оси Oy между точками и , вычисляется по формуле

.

Замечание. Если тело образовано вращением вокруг оси (или Oy) плоской фигуры, ограниченной графиками двух функций и (или ), заданными на отрезке , непрерывными и неотрицательными, причем (или ), тогда объём тела вращения:

или .

Типовой расчет 1

Задача 1.

Каждый определитель третьего порядка вычислите двумя способами:

1. по правилу треугольника,

2) методом разложения по элементам какой-нибудь строки или столбца.

1.1. а) , б) .

1.2. а) , б) .

1.3. а) , б) .

1.4. а) , б) .

1.5 а) , б) .

1.6. а) , б) .

1.7. а) , б) .

1.8. а) , б) .

1.9. а) , б) .

1.10. а) , б) .

1.11. а) , б) .

1.12. а) , б) .

1.13. а) , б) .

1.14. а) , б) .

1.15. а) , б) .

1.16. а) , б) .

1.17. а) , б) .

1.18. а) , б) .

1.19. а) , б) .

1.20. а) , б) .

1.21. а) , б) .

1.22. а) , б) .

1.23. а) , б) .

1.24. а) , б) .

1.25. а) , б) .

1.26. а) , б) .

1.27. а) , б) .

1.28. а) , б) .

1.29. а) , б) .

1.30. а) , б) .

Задача 2.

Вычислите определитель четвертого порядка, используя свойства определителей.

2.1. 2.2. 2.3.

2.4. 2.5. 2.6.

2.7. 2.8. 2.9.

2.10. 2.11. 2.12.

2.13. 2.14. 2.15.

2.16. 2.17. 2.18.

2.19. 2.20. 2.21.

2.22. 2.23. 2.24.

2.25. 2.26. 2.27.

2.28. 2.29. 2.30.

Задача 3.

Выполните действия:

а), б) перемножьте матрицы,

в) найдите обратную матрицу.

3.1. а) б) в)

3.2. а) б) в)

3.3. а) б) в)

3.4. а) б) в)

3.5. а) б) в)

3.6. а) б) в)

3.7. а) б) в)

3.8. а) б) в)

3.9. а) б) в)

3.10. а) б) в)

3.11. а) б) в)

3.12. а) б) в)

3.13. а) б) в)

3.14. а) б) в)

3.15. а) б) в)

3.16. а) б) в)

3.17. а) б) в)

3.18. а) б) в)

3.19. а) б) в)

3.20. а) б) в)

3.21. а) б) в)

3.22. а) б) в)

3.23. а) б) в)

3.24. а) б) в)

3.25. а) б) в)

3.26. а) б) в)

3.27. а) б) в)

3.28. а) б) в)

3.29. а) б) в)

3.30. а) б) в)

Задача 4.

Используя формулы Крамера, решите системы линейных алгебраических уравнений.

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.

4.15. 4.16.

4.17. 4.18.

4.19. 4.20.

4.21. 4.22.

4.23. 4.24.

4.25. 4.26.

4.27. 4.28.

4.29 4.30.

Задача 5.

Исследуйте систему линейных алгебраических уравнений.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

5.29.

5.30.

Задача 6.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.

Найдите:

а) Косинус угла между ребрами и .

б) Проекцию вектора на вектор .

в) Площадь грани ABC.

г) Объем пирамиды ABCD.

6.1. A(9,0,0), B(–2,1,2), C(1,3,2), D(2,2,7).

6.2. A(–3,1,2), B(4,0,0), C(3,2,7), D(1,3,2).

6.3. A(1,0,7), B(5,1,7), C(4,0,0), D(–2,6,2).

6.4 A(3,2,7), B(1,3,2), C(–2,0,2), D(4,0,0).

6.5. A(3,1,–2), B(1,2,1), C(–2,1,0), D(2,2,5).

6.6. A(4,–2,1), B(3,1,–2), C(2,2,5), D(–2,7,0).

6.7. A(2,1,0), B(2,2,3), C(3,1,2), D(1,–2,1).

6.8. A(2,2,3), B(–2,1,0), C(1,–2,1), D(3,1,2).

6.9. A(1,–1,6), B(4,8,–2), C(–1,3,0), D(6,1,5).

6.10. A(6,1,5), B(–1,3,6), C(4,5,–2), D(1,–1,6).

6.11. A(–5,0,8), B(2,2,1), C(4,3,–2), D(6,3,7).

6.12. A(5,1,–4), B(1,5,–1), C(3,3,–4), D(2,2,2).

6.13. A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,3,2), D(3,2,4).

6.14. A(1,1,2), B(2,3,–1), C(2,–2,4), D(–1,1,3).

6.15. A(2,–3,5), B(0,2,1), C(–2,3,3), D(–3,2,4).

6.16. A(1,–3,–4), B(–1,0,2), C(2,–4,–6), D(1,1,1).

6.17. A(2,1,–2), B(3,3,3), C(1,1,2), D(–1,–2,–3).

6.18. A(1,1,1), B(2,0,2), C(2,2,2), D(3,4,–3).

6.19. A(0,0,0), B(1,1,0), C(4,1,0), D(0,0,6).

6.20. A(0,2,0), B(4,1,1), C(1,1,0), D(0,0,8).

6.21. A(1,2,–1), B(0,1,5), C(–1,2,1), D(2,5,3).

6.22. A(1,–1,2), B(3,–6,2), C(1,3,–1), D(2,3,1).

6.23. A(2,–1,2), B(5,5,4), C(3,2,–1), D(4,1,3).

6.24. A(2,3,1), B(4,1,–2), C(4,3,7), D(–5,–4,8).

6.25. A(2,1,–1), B(1,0,1), C(2,–1,3), D(0,8,0).

6.26. A(4,2,1), B(–2,1,3), C(1,3,2), D(3,2,5).

6.27. A(–2,1,3), B(4,2,1), C(1,3,2), D(3,2,6).

6.28. A(1,3,5), B(3,2,4), C(4,1,1), D(–2,1,2).

6.29. A(3,1,5), B(1,3,2), C(–2,0,2), D(3,5,3).

6.30. A(10,5,4), B(1,1,1), C(1,0,3), D(5,0,4).

Задача 7.

Выясните, компланарны ли векторы , , ?

7.1. (3,1,4), (6,2,8), (1,1,1).

7.2. (1,–1,–3), (3,2,1), (2,3,4).

7.3. (2,7,3), (1,0,2), (–3,7,–7).

7.4. (3,7,5), (1,1,1), (2,1,5).

7.5. (7,4,6), (2,1,1), (19,11,17).

7.6. (7,5,3), (1,1,1), (1,2,5).

7.7. (–1,–1,–2), (2,1,2), (3,2,4).

7.8. (–2,–1,–1), (1,2,2), (3,2,2).

7.9. (3,0,3), (8,1,6), (1,1,–1).

7.10. (1,3,7), (2,3,5), (1,3,1).

7.11. (3,7,1), (5,3,2), (3,1,1).

7.12. (7,3,1), (3,2,5), (1,1,3).

7.13. (3,2,1), (–3,–1,3), (3,3,5).

7.14. (–3,3,3), (–4,7,6), (3,0,–1).

7.15. (1,2,3), (2,4,6), (1,3,5).

7.16. (1,0,7), (2,3,1), (1,2,1).

7.17. (7,0,1), (3,2,1), (2,1,1).

7.18. (0,7,1), (1,3,2), (1,1,2).

7.19. (3,2,5), (1,1,1), (2,1,4).

7.20. (4,1,2), (9,2,5), (1,1,–1).

7.21. (5,3,2), (1,1,1), (4,2,1).

7.22. (1,0,1), (2,2,2), (3,2,3).

7.23. (1,7,1), (2,1,8), (1,0,1).

7.24. (7,1,1), (1,2,8), (0,1,1).

7.25. (1,7,7), (8,1,2), (1,1,0).

7.26. (2,7,1), (3,1,8), (–7,–34,3).

7.27. (3,1,0), (–5,–4,–5), (4,2,4).

7.28. (1,7,2), (8,1,3), (3,–34,–7).

7.29. (3,0,7), (1,5,1), (–2,5,–6).

7.30. (7,0,3), (1,5,1), (–6,5,–2).

Задача 8.

Заданы координаты вершин некоторого треугольника АВС.

Найдите уравнения всех сторон и всех высот треугольника. Сделайте чертеж в декартовой системе координат.

8.1. А(1,6), В(–15,–8), С(–8,16).

8.2. А(2,1), В(–16,–11), С(–7,13).

8.3. А(5,8), В(–13,–9), С(–6,13).

8.4. А(4,–1), В(–13,–13), С(–5,11).

8.5. А(5,0), В(–11,14), С(–4,12).

8.6. А(6,1), В(–13,–12), С(–6,13).

8.7. А(4,3), В(–12,–10), С(–5,14).

8.8. А(2,5), В(–14,–7), С(–7,17).

8.9. А(0,7), В(–16,–5), С(–9,17).

8.10. А(8,2), В(–4,–10), С(–1,14).

8.11. А(1,6), В(–10,–11), С(–3,13).

8.12. А(2,4), В(–9,–10), С(–2,14).

8.13. А(3,3), В(–8,–9), С(–1,15).

8.14. А(4,–1), В(–7,–8), С(0,16).

8.15. А(5,2), В(–6,–7), С(1,17).

8.16. А(3,1), В(–13,–11), С(–6,13).

8.17. А(4,0), В(–4,–8), С(3,16).

8.18. А(2,5), В(–3,–11), С(4,13).

8.19. А(0,7), В(–2,–9), С(5,15).

8.20. А(8,3), В(–1,–13), С(6,11).

8.21. А(6,–5), В(15,7), С(3,2).

8.22. А(0,0), В(1,1), С(2,0).

8.23. А(1,7), В(4,4), С(3,1).

8.24. А(1,1), В(5,2), С(1,3).

8.25. А(0,1). В(4,4), С(4,0).

8.26. А(–1,2), В(3,4), С(7,1).

8.27. А(–1,–1), В(6,3), С(3,–1).

8.28. А(1,2), В(5,–2), С(4,–10).

8.29. А(2,3), В(–1,–1), С(5,–9).

8.30. А(4,7), В(1,–1), С(4,–9).

Задача 9.

9.1. Парабола симметрична относительно оси ОУ и проходит через точки А(3,8), В(2,3). Составьте уравнение параболы и вычислите площадь треугольника, одна из вершин которого совпадает с вершиной параболы, а две другие являются точками пересечения параболы с прямой .

9.2. Найдите длину хорды, соединяющей точки пересечения двух парабол, имеющих общую вершину в начале координат, а фокусы в точках F₁(2,0), F₂(0,2).

9.3. Найдите площадь треугольника, вершина которого лежит в центре окружности , основанием треугольника служит вырезанный окружностью отрезок на оси абсцисс.

9.4. Найдите уравнение окружности, проходящей через точки пересечения параболы с осями координат.

9.5. Найдите точки пересечения кривой и прямой . Определите расстояние между этими точками. Сделайте чертеж.

9.6. Вычислите площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.

9.7. Составьте уравнение прямой, которая проходит через вершину параболы и параллельна прямой .

9.8. Составьте уравнение диаметра окружности , перпендикулярного прямой .

9.9. А–вершина параболы , В–точка пересечения параболы с осью ОУ. Найдите уравнение перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка АВ.

9.10. Найдите длину и уравнение перпендикуляра, опущенного из фокуса параболы на прямую, отсекающую на осях координат отрезки .

9.11. Найдите точки пересечения асимптот гиперболы с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

9.12. Через фокус эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси. Определите расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

9.13. Вычислите площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой .

9.14. В эллипс вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с концом большой полуоси. Определите координаты двух других вершин треугольника.

9.15. Сторона квадрата равна а. Через две противоположные его вершины проходит эллипс, фокусы которого совпадают с двумя другими вершинами квадрата. Найдите уравнение эллипса, приняв диагонали квадрата за оси координат.

9.16. В эллипс вписан прямоугольник, две противоположные стороны которого проходят через фокусы эллипса. Определите площадь этого прямоугольника.

9.17. Центр окружности находится в точке О(3;1). Составьте уравнение окружности, если она касается прямой .

9.18. Напишите уравнение окружности, центр которой лежит на оси ОХ и которая проходит через начало координат и точку А(2,4).

9.19. Дан эллипс . Напишите уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса.

9.20. Найдите уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы параллельно прямой .

9.21. Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей , .

9.22. Напишите уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса .

9.23. Напишите уравнение окружности, если М₁(3,2), М₂(1,6) – концы диаметра окружности.

9.24. Напишите уравнение окружности, если М₁(3,1), М₂(–1,3) –точки окружности, а центр С(а, b) принадлежит прямой .

9.25. Найдите свободный член уравнения прямой , проходящей через вершину параболы .

9.26. Найдите уравнение прямой, проходящей через центр окружности перпендикулярно прямой .

9.27. Найдите уравнение прямой, проходящей через центр окружности параллельно прямой .

9.28. Найдите уравнение прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной биссектрисе первого и третьего координатных углов.

9.29. Вычислите площадь треугольника, вписанного в параболу, заданную уравнением , если известно, что вершина треугольника совпадает с вершиной параболы, а основание лежит на прямой .

9.30. Вычислите площадь треугольника, одна из вершин которого совпадает с вершиной параболы , а две другие совпадают с точками пересечения этой параболы с осью абсцисс.