3. Решение систем линейных уравнений (слу).

А) Рассмотрим систему трех линейных уравнений:

где – неизвестные, ,

, , .

Тогда СЛУ можно решить:

— используя формулы Крамера: , ;

— средствами матричного исчисления: решение находится по формуле

,

где , , ;

— методом Гаусса: с помощью элементарных преобразований расширенную матрицу, составленную из коэффициентов СЛУ , необходимо привести к матрице ступенчатого вида . Затем нужно полученную матрицу записать в виде системы с соответствующими коэффициентами из которой можно найти решение, выразив неизвестные .

Б) Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Основная и расширенная матрицы коэффициентов для данной системы имеют вид:

, .

Рангом матрицы называется число, равное порядку наивысшего минора этой матрицы, отличного от нуля.

Теорема Кронекера–Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, то есть ==r, где r – ранг системы.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных n, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных n, то система имеет бесчисленное множество решений.

4. Векторы.

Вектор – это отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Координаты вектора – это его проекции на координатные оси.

Пусть векторы заданы своими координатами: , .

Длина вектора вычисляется по формуле: .

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть

.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений одноименных координат, то есть

.

Векторное произведение в координатной форме будет иметь вид:

.

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и :

, .

Смешанное произведение трех векторов в координатной форме:

.

Смешанное произведение трех векторов , и по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

.

Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и :

.

У компланарных векторов смешанное произведение равно нулю.

5. Прямая.

Общее уравнение прямой:

.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tgα:

,

где α – угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ox.

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через точку М₀(х₀, у₀) имеет вид:

.

Уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x_2, y₂):

.

Условие параллельности прямых:

k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности прямых:

k₁ = –1/k₂.

6. Кривые второго порядка.

Окружность с центром в точке С(а,b) и радиусом R:

.

Эллипс:

,

где a и b – большая и малая полуоси.

Для эллипса выполняется равенство:

,

где с – половина фокусного расстояния.

Эксцентриситет:

.

Гипербола:

,

где a и b – действительная и мнимая полуоси.

Для гиперболы выполняется равенство:

,

где с – половина фокусного расстояния.

Эксцентриситет:

.

Парабола с параметром p:

.

Прямая называется директрисой параболы, а точка – фокусом параболы.

7. Пределы.

.

.

Первый замечательный предел:

.

Второй замечательный предел:

или .

Другие замечательные пределы:

, ,

, .

8. Производная функции. Определение производной

Производной функции в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δy к соответствующему приращению аргумента Δx, при условии, что, если этот предел существует.

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала (а, b) называется дифференцируемой в этом интервале, операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

9. Основные правила дифференцирования

Теорема. Пусть С – постоянная, u(x) = u, v(x) = v – функции, дифференцируемые в точке х₀. Тогда выполняются следующие равенства:

1) .

2) .

3) .

4) , если v  0.

10. Формулы дифференцирования основных функций

1) С  = 0.

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) . 16) .

11. Поизводная сложной функции

Теорема. Пусть функция дифференцируема в точке и₀, функция дифференцируема в точке x₀, причем . Тогда

или .

12. Производная сложно–показательной функции

Если u=u(x), v=v(x) – функции, то функция – называется сложно-показательной.

.

13. Производные высших порядков

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка:

.

14. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть заданы две функции одной независимой переменной t: .

Тогда функция называется заданной параметрически.

, .

15. Дифференциал. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях

Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная часть приращения функции относительно :

.

Формула для приближенных вычислений имеет вид:

.

16. Исследование поведения функции

Функция называется четной, если D(f) симметрична относительно начала координат и .

Функция называется нечетной, если D(f) симметрична относительно начала координат и .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, нечетной – относительно начала координат.

Функция ни четная, ни нечетная называется функцией общего положения.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема на интервале и , то эта функция возрастает (или убывает) на интервале .

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в критических точках.

Теорема. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то – есть точка максимума; с минуса на плюс, то – точка минимума.

x		x0		x1
	+	0	–	0	+
		max		min

Теорема. Если в точке первая производная функции равна нулю, то есть , а , то при в точке – max, при в точке – min.

Теорема. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, то есть , то функция выпукла на этом интервале. Если же , , то функция вогнутая.

Точки, в которых выпуклая часть отделяется от вогнутой, называются точками перегиба.

Теорема. В точках перегиба вторая производная обращается в нуль или не существует.

Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками II рода.

Теорема. Если при переходе через критическую точку II рода x₀ вторая производная меняет знак, то x₀ – точка перегиба.

Асимптотами графика функции называются прямые, к которым функция неограниченно приближается при увеличении ее в бесконечность.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если .

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции , если .

Наклонные асимптоты имеют уравнение прямой , где .

Схема исследования функции и построения графика с помощью производных

Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности.

1. ОДЗ.

2. Четность, нечетность.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Асимптоты.

5. Точки экстремума. Возрастание и убывание функции.

6. Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость.

7. Построение графика.

17. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

1. найдите критические точки функции на интервале ,

2. вычислите значения функции в найденных критических точках,

3. вычислите значения функции на концах отрезка, в точках a и b,

4. среди всех вычисленных значений функции выберите наибольшее и наименьшее.

18. Неопределенный интеграл

Функция называется первообразной для функции на промежутке , если для любого функция дифференцируема и выполняется равенство .

Неопределённым интегралом от функции называется совокупность всех первообразных функций и обозначается:

19. Свойства неопределённых интегралов

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , .

6. .

20. Таблица основных неопределенных интегралов

1. .

2. .

3..

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. , .

19. .

20. .

21. Основные методы интегрирования

Метод подстановки или замены переменной

Пусть , . Тогда формула замены переменной в неопределенном интеграле будет иметь вид:

.

Метод интегрирования по частям

Теорема. Пусть и непрерывно-дифференцируемые функции от x. Тогда справедлива следующая формула:

.

1) в интегралах вида , , , выбирают , любая из оставшихся частей будет ;

2) в интегралах вида , , , , выбирают , любая из оставшихся частей будет ;

3) интегралы вида , вычисляются интегрированием по частям два раза, при этом за выбирается одна и та же функция; результат получается из рекуррентного соотношения.

4) В некоторых случаях подынтегральную функцию принимают за , а .

Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной называется функция вида , и – многочлены степеней и соответственно с вещественными коэффициентами.

Если , то дробно-рациональная функция называется правильной, если , то дробно-рациональная функция называется неправильной.

Простейшими рациональными дробями называются дробно-рациональные выражения вида: , , , , где , , , , , , .

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой

,

где () можно представить в виде следующей суммы простейших дробей:

(*)

Для нахождения неопределенных коэффициентов в (*) применяется метод неопределённых коэффициентов:

1) Правую часть равенства (*) приведем к общему знаменателю , в результате получим тождество , где – многочлен с неопределенными коэффициентами.

2) Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, то есть .

3) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях тождества, получим систему линейных уравнений, из которых найдем .

Алгоритм интегрирования рациональных дробей

1) Если дробь неправильная, то необходимо ее представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2) Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, нужно представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

3) Проинтегрировать многочлен и каждую простую дробь.

Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы, содержащие рациональные функции от и () всегда рационализируются с помощью подстановки: . В некоторых случаях можно использовать подстановки , , , .

Свойство подынтегральной функции		Подстановка
1.
2.
3.		или

Интегрирование некоторых иррациональных выражений

В некоторых случаях с помощью специальных подстановок к интегралам от рациональных функций сводятся интегралы от иррациональных функций.

Тип интеграла		Способ интегрирования
1.		Подстановка Эйлера .
2.		Подстановка Эйлера .
3.		Подстановка Эйлера или
4.		Подстановка
5.		Подстановка
6.		Подстановка Чебышева ,
7.		Подстановка Чебышева
8.		Подстановка Чебышева